class 10 Math - Important Question & Anwers
Chapter 9 - त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग (Some Applications of Trigonometry)
📘 इस अध्याय से परीक्षा में क्या पूछा जाता है?
यह अध्याय कक्षा 10 गणित के परीक्षा में बहुत महत्वपूर्ण है।
इस अध्याय से प्रायः कोणों का मान निकालना, ऊँचाई और दूरी पर आधारित प्रश्न, तथा tan, sin, cos के प्रयोग पूछे जाते हैं।
बोर्ड परीक्षा में इस अध्याय से 1 अंक से लेकर 5 अंक तक के प्रश्न आ सकते हैं।
🎯 परीक्षा में अंक कैसे पक्के करें?
उत्तर लिखते समय सूत्र अवश्य लिखें
tan θ = ऊँचाई / आधार लिखना ज़रूरी
बिना चित्र (diagram) के पूरे अंक नहीं मिलते
📘 अति लघु उत्तरीय प्रश्न (1 अंक)
Q1.एक मीनार की ऊँचाई और उसकी छाया की लंबाई का अनुपात $1:\sqrt{3}$ है। सूर्य का उन्नयन कोण (Angle of Elevation) क्या है? (A) $30^\circ$ (B) $45^\circ$ (C) $60^\circ$ (D) $90^\circ$
उत्तर: (A) $30^\circ$
(हल: $\tan \theta = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \theta = 30^\circ$)
Q2. यदि एक खंभे की ऊँचाई $6$ मीटर है और उसकी छाया $2\sqrt{3}$ मीटर है, तो सूर्य का उन्नयन कोण है:(A) $60^\circ$(B) $45^\circ$(C) $30^\circ$(D) $75^\circ$
उत्तर: (A) $60^\circ$
(हल: $\tan \theta = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \Rightarrow \theta = 60^\circ$)
Q3. एक पतंग की डोरी 100 मीटर लंबी है और यह क्षैतिज से $60^\circ$ का कोण बनाती है। पतंग की ऊँचाई ज्ञात कीजिए (डोरी में ढील नहीं है):(A) $50\sqrt{3}$ m(B) $50$ m(C) $100\sqrt{3}$ m(D) $80$ m
उत्तर: (A) $50\sqrt{3}$ m
(हल: $\sin 60^\circ = \frac{h}{100} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{100} \Rightarrow h = 50\sqrt{3}$)
Q4.प्रेक्षक की आँख से मीनार के शिखर को मिलाने वाली रेखा को क्या कहते हैं? (A) क्षैतिज रेखा (B) दृष्टि रेखा (Line of Sight) (C) ऊर्ध्वाधर रेखा (D) इनमें से कोई नहीं
उत्तर: (B) दृष्टि रेखा
Q5. जब हम किसी वस्तु को देखने के लिए अपना सिर नीचे झुकाते हैं, तो कौन सा कोण बनता है? (A) उन्नयन कोण (B) अवनमन कोण (Angle of Depression) (C) समकोण (D) अधिक कोण
उत्तर: (B) अवनमन कोण
📘 लघु उत्तरीय प्रश्न (2/3 अंक)
Q6. एक सर्कस का कलाकार एक 20 मीटर लंबी डोर पर चढ़ रहा है जो अच्छी तरह से तनी हुई है और भूमि पर सीधे लगे खंभे के शिखर से बंधी हुई है। यदि भूमि स्तर के साथ डोर द्वारा बनाया गया कोण $30^\circ$ हो, तो खंभे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना खंभे की ऊँचाई $h$ है।
$\sin 30^\circ = \frac{\text{लंब}}{\text{कर्ण}} = \frac{h}{20}$
$\frac{1}{2} = \frac{h}{20}$
$2h = 20 \Rightarrow h = 10$
उत्तर: खंभे की ऊँचाई 10 मीटर है।
Q7. आंधी आने से एक पेड़ टूट जाता है और टूटा हुआ भाग इस तरह मुड़ जाता है कि पेड़ का शिखर जमीन को छूने लगता है और इसके साथ $30^\circ$ का कोण बनाता है। पेड़ के पाद-बिंदु की दूरी, जहाँ पेड़ का शिखर जमीन को छूता है, 8 मीटर है। पेड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना पेड़ का खड़ा भाग $AB$ और टूटा भाग $AC$ है।
$\triangle ABC$ में:
$\tan 30^\circ = \frac{AB}{8} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{AB}{8} \Rightarrow AB = \frac{8}{\sqrt{3}}$
$\cos 30^\circ = \frac{8}{AC} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{8}{AC} \Rightarrow AC = \frac{16}{\sqrt{3}}$
कुल ऊँचाई $= AB + AC = \frac{8}{\sqrt{3}} + \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}}$
$= \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3}$
उत्तर: $8\sqrt{3}$ मीटर।
Q8.एक नदी के पुल के एक बिंदु से नदी के सम्मुख किनारों के अवनमन कोण क्रमशः $30^\circ$ और $45^\circ$ हैं। यदि पुल किनारों से 3 मीटर की ऊँचाई पर हो, तो नदी की चौड़ाई ज्ञात कीजिए। हल: ऊँचाई $h = 3$ मीटर। माना नदी की चौड़ाई $w = x + y$ है।
हल:
ऊँचाई $h = 3$ मीटर।
माना नदी की चौड़ाई $w = x + y$ है।
$\tan 30^\circ = \frac{3}{x} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3}{x} \Rightarrow x = 3\sqrt{3}$
$\tan 45^\circ = \frac{3}{y} \Rightarrow 1 = \frac{3}{y} \Rightarrow y = 3$
चौड़ाई $= 3\sqrt{3} + 3 = 3(\sqrt{3} + 1)$ मीटर।
उत्तर: $3(\sqrt{3} + 1)$ मीटर।
Q9. भूमि के एक बिंदु से, जो मीनार के पाद-बिंदु से 30 मीटर की दूरी पर है, मीनार के शिखर का उन्नयन कोण $30^\circ$ है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
$\tan 30^\circ = \frac{h}{30}$ $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{30}$ $h = \frac{30}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{30\sqrt{3}}{3} = 10\sqrt{3}$
उत्तर: $10\sqrt{3}$ मीटर।
Q10. 1.5 मीटर लंबा एक लड़का 30 मीटर ऊँचे एक भवन से कुछ दूरी पर खड़ा है। जब वह ऊँचे भवन की ओर जाता है तब उसकी आँख से भवन के शिखर का उन्नयन कोण $30^\circ$ से $60^\circ$ हो जाता है। बताइए कि वह भवन की ओर कितनी दूरी तक चलकर गया है।
हल:
भवन की प्रभावी ऊँचाई $= 30 – 1.5 = 28.5$ मीटर।
$\triangle ABD$ ($30^\circ$): $\tan 30^\circ = \frac{28.5}{x+y} \Rightarrow x+y = 28.5\sqrt{3}$
$\triangle ABC$ ($60^\circ$): $\tan 60^\circ = \frac{28.5}{y} \Rightarrow y = \frac{28.5}{\sqrt{3}} = 9.5\sqrt{3}$
दूरी $x = (x+y) – y = 28.5\sqrt{3} – 9.5\sqrt{3} = 19\sqrt{3}$
उत्तर: $19\sqrt{3}$ मीटर।
📘 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (5 अंक) (Long Question Answer)
Q11. एक मीनार के पाद-बिंदु से एक भवन के शिखर का उन्नयन कोण $30^\circ$ है और भवन के पाद-बिंदु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण $60^\circ$ है। यदि मीनार 50 मीटर ऊँची हो, तो भवन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
विस्तृत हल:
माना: मीनार $AB = 50$m, भवन $CD = h$m। दोनों के बीच दूरी $BD = x$m।
समकोण $\triangle ABD$ में (मीनार के साथ):
$\tan 60^\circ = \frac{AB}{BD}$
$\sqrt{3} = \frac{50}{x} \Rightarrow x = \frac{50}{\sqrt{3}}$ मीटर।
समकोण $\triangle CDB$ में (भवन के साथ):
$\tan 30^\circ = \frac{CD}{BD}$
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{x}$
$x = h\sqrt{3}$
$x$ का मान रखने पर:
$h\sqrt{3} = \frac{50}{\sqrt{3}}$
$3h = 50 \Rightarrow h = \frac{50}{3} = 16\frac{2}{3}$
उत्तर: भवन की ऊँचाई $16.67$ मीटर है।
Q12.7 मीटर ऊँचे भवन के शिखर से एक केबल टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण $60^\circ$ है और इसके पाद का अवनमन कोण $45^\circ$ है। टॉवर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
विस्तृत हल:
चित्र: भवन $AB = 7$m। टॉवर $EC = H$। क्षैतिज रेखा $AD$।
$\angle EAD = 60^\circ$, $\angle DAC = 45^\circ$ (एकांतर कोण $\angle BCA = 45^\circ$)।
$\triangle ABC$ में ($45^\circ$):
$\tan 45^\circ = \frac{AB}{BC} \Rightarrow 1 = \frac{7}{BC} \Rightarrow BC = 7$ मीटर।
(अतः $AD = BC = 7$ मीटर)
$\triangle ADE$ में ($60^\circ$):
$\tan 60^\circ = \frac{ED}{AD}$
$\sqrt{3} = \frac{ED}{7} \Rightarrow ED = 7\sqrt{3}$
कुल ऊँचाई:
$H = ED + DC$ (जहाँ $DC = AB = 7$)
$H = 7\sqrt{3} + 7 = 7(\sqrt{3} + 1)$
उत्तर: टॉवर की ऊँचाई $7(\sqrt{3} + 1)$ मीटर है।
Q13.समुद्र-तल से 75 मीटर ऊँची लाइट हाउस के शिखर से देखने पर दो समुद्री जहाजों के अवनमन कोण $30^\circ$ और $45^\circ$ हैं। यदि लाइट हाउस के एक ही ओर एक जहाज दूसरे जहाज के ठीक पीछे हो, तो जहाजों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
विस्तृत हल:
माना: लाइट हाउस $AB = 75$m। दो जहाज $C$ ($45^\circ$) और $D$ ($30^\circ$)।
दूरी $BC = y$ और $CD = x$ (जहाजों के बीच)।
$\triangle ABC$ में:
$\tan 45^\circ = \frac{75}{y} \Rightarrow 1 = \frac{75}{y} \Rightarrow y = 75$m
$\triangle ABD$ में:
$\tan 30^\circ = \frac{75}{y+x}$
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{75}{y+x} \Rightarrow y+x = 75\sqrt{3}$
$x$ का मान:
$75 + x = 75\sqrt{3}$
$x = 75\sqrt{3} – 75 = 75(\sqrt{3} – 1)$
उत्तर: दूरी $75(\sqrt{3} – 1)$ मीटर है।
Q14. एक सीधा राजमार्ग एक मीनार के पाद तक जाता है। मीनार के शिखर पर खड़ा एक आदमी एक कार को $30^\circ$ के अवनमन कोण पर देखता है जो कि मीनार के पाद की ओर एक समान चाल से जाती है। 6 सेकंड बाद कार का अवनमन कोण $60^\circ$ हो गया। इस बिंदु से मीनार के पाद तक पहुँचने में कार द्वारा लिया गया समय ज्ञात कीजिए।
विस्तृत हल:
माना: मीनार की ऊँचाई $h$ है। पहले कार बिंदु $D$ पर थी, फिर $C$ पर आ गई।
$\angle D = 30^\circ, \angle C = 60^\circ$
$\triangle ABC$ में:
$\tan 60^\circ = \frac{h}{BC} \Rightarrow h = BC\sqrt{3}$ …(i)
$\triangle ABD$ में:
$\tan 30^\circ = \frac{h}{BC + CD} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{BC + CD} \Rightarrow h\sqrt{3} = BC + CD$
मान रखने पर:
$(BC\sqrt{3})\sqrt{3} = BC + CD$
$3BC = BC + CD$
$2BC = CD \Rightarrow BC = \frac{CD}{2}$
समय:
$CD$ दूरी तय करने में समय = 6 सेकंड
$BC$ दूरी (जो कि $CD$ की आधी है) तय करने में समय $= \frac{6}{2} = 3$ सेकंड।
उत्तर: 3 सेकंड।
Q15.भूमि के एक बिंदु $P$ से एक 10 मीटर ऊँचे भवन के शिखर का उन्नयन कोण $30^\circ$ है। भवन के शिखर पर एक ध्वज (Flag) को लहराया गया है और $P$ से ध्वज के शिखर का उन्नयन कोण $45^\circ$ है। ध्वजदंड की लंबाई और बिंदु $P$ से भवन की दूरी ज्ञात कीजिए। ($\sqrt{3} = 1.732$)
विस्तृत हल:
माना: भवन $AB = 10$m, ध्वज $BC = h$, दूरी $PA = x$।
$\triangle PAB$ में ($30^\circ$):
$\tan 30^\circ = \frac{10}{x} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{10}{x} \Rightarrow x = 10\sqrt{3}$
दूरी $x = 10(1.732) = 17.32$ मीटर।
$\triangle PAC$ में ($45^\circ$):
$\tan 45^\circ = \frac{10 + h}{x} \Rightarrow 1 = \frac{10 + h}{10\sqrt{3}}$
$10 + h = 10\sqrt{3}$
$h = 10\sqrt{3} – 10 = 10(1.732 – 1) = 10(0.732) = 7.32$
उत्तर: ध्वजदंड की लंबाई 7.32m और दूरी 17.32m है।
💡 टिप: “Height and Distance” के प्रश्नों में डायग्राम (Diagram) बनाना अनिवार्य है। उसके बिना नंबर कट सकते हैं।
👀 परीक्षक उत्तर में क्या देखता है?
सही सूत्र
सही diagram
step-wise solution
अंतिम उत्तर साफ-साफ
केवल उत्तर लिखने पर पूरे अंक नहीं मिलते।
🔁 अंतिम समय में कैसे दोहराएँ?
tan 30°, tan 45°, tan 60° पहले याद करें
2–3 सवाल रोज़ practice करें
diagram बनाने की practice करें
📚 यह अध्याय आगे कहाँ काम आता है?
कक्षा 11 की ऊँचाई-दूरी
प्रतियोगी परीक्षाओं के basic सवाल
❓अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)
Q1. क्या diagram बनाना ज़रूरी है?
हाँ, diagram के बिना पूरे अंक नहीं मिलते।
Q2. क्या सूत्र याद रखना ज़रूरी है?
हाँ, सूत्र लिखना अनिवार्य है।