class 10 Math - Very Important Question Anwers
Chapter 8 - त्रिकोणमिति का परिचय (Introduction to Trigonometry)
📘 अति लघु उत्तरीय प्रश्न (1 अंक)
Q1.यदि $\tan A = \frac{4}{3}$ है, तो $\cos A$ का मान होगा: (A) $3/5$ (B) $4/5$ (C) $5/3$ (D) $5/4$
उत्तर: (A) $3/5$ ($\tan = P/B = 4/3 \Rightarrow H = \sqrt{4^2+3^2} = 5$. $\cos = B/H = 3/5$)
Q2. $1 - \tan^2 45^\circ \over 1 + \tan^2 45^\circ$ का मान बराबर है: (A) $\tan 90^\circ$ (B) 1 (C) $\sin 45^\circ$ (D) 0
उत्तर: (D) 0 ($\frac{1 – (1)^2}{1 + (1)^2} = \frac{0}{2} = 0$)
Q3. $9 \sec^2 A - 9 \tan^2 A$ बराबर है:(A) 1 (B) 9 (C) 8 (D) 0
उत्तर: (B) 9 (9 कॉमन लेने पर: $9(\sec^2 A – \tan^2 A) = 9(1) = 9$)
Q4.यदि $\sin 2A = 2 \sin A$ है, तो $A$ का मान क्या होगा? (A) $0^\circ$ (B) $30^\circ$ (C) $45^\circ$ (D) $60^\circ$
उत्तर: (A) $0^\circ$ ($\sin(0) = 0$ और $2\sin(0) = 0$. दोनों पक्ष बराबर हैं)
Q5. $(\sec A + \tan A) (1 - \sin A)$ का मान क्या है? (A) $\sec A$ (B) $\sin A$ (C) $\operatorname{cosec} A$ (D) $\cos A$
उत्तर: (D) $\cos A$
(हल: $(\frac{1}{\cos} + \frac{\sin}{\cos})(1 – \sin) = \frac{1+\sin}{\cos} \cdot (1-\sin) = \frac{1-\sin^2}{\cos} = \frac{\cos^2}{\cos} = \cos A$)
📘 लघु उत्तरीय प्रश्न (2/3 अंक)
Q6. यदि $\sec \theta = \frac{13}{12}$ हो, तो अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल:
$\sec \theta = \frac{H}{B} = \frac{13}{12}$
पाइथागोरस से लंब (P) निकालें:
$P = \sqrt{H^2 – B^2} = \sqrt{169 – 144} = \sqrt{25} = 5$
अनुपात:
$\sin \theta = \frac{5}{13}, \cos \theta = \frac{12}{13}, \tan \theta = \frac{5}{12}$
$\operatorname{cosec} \theta = \frac{13}{5}, \cot \theta = \frac{12}{5}$
Q7. मान निकालिए: $\frac{\sin 30^\circ + \tan 45^\circ - \operatorname{cosec} 60^\circ}{\sec 30^\circ + \cos 60^\circ + \cot 45^\circ}$
हल:
मान रखने पर: $= \frac{\frac{1}{2} + 1 – \frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{1}{2} + 1}$ $= \frac{\frac{3}{2} – \frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{3}{2} + \frac{2}{\sqrt{3}}}$ एलसीएम लेने पर ($2\sqrt{3}$): $= \frac{3\sqrt{3} – 4}{3\sqrt{3} + 4}$ (हर का परिमेयकरण करने पर यह और सरल हो सकता है, लेकिन 2 नंबर में यहाँ तक छोड़ सकते हैं या आगे हल कर सकते हैं)। उत्तर: $\frac{43 – 24\sqrt{3}}{11}$ (परिमेयकरण के बाद)
Q8.यदि $\tan(A + B) = \sqrt{3}$ और $\tan(A - B) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है, जहाँ $0 B$, तो $A$ और $B$ ज्ञात कीजिए।
हल:
$\tan(A+B) = \tan 60^\circ \Rightarrow A+B = 60^\circ$ …(i)
$\tan(A-B) = \tan 30^\circ \Rightarrow A-B = 30^\circ$ …(ii)
(i) और (ii) को जोड़ने पर:
$2A = 90^\circ \Rightarrow A = 45^\circ$
$A$ का मान (i) में: $45 + B = 60 \Rightarrow B = 15^\circ$
उत्तर: $A = 45^\circ, B = 15^\circ$
Q9. सिद्ध कीजिए: $(\sin A + \operatorname{cosec} A)^2 + (\cos A + \sec A)^2 = 7 + \tan^2 A + \cot^2 A$
हल:
LHS $= \sin^2 A + \operatorname{cosec}^2 A + 2\sin A \operatorname{cosec} A + \cos^2 A + \sec^2 A + 2\cos A \sec A$ $= (\sin^2 A + \cos^2 A) + \operatorname{cosec}^2 A + \sec^2 A + 2(1) + 2(1)$ $= 1 + (1 + \cot^2 A) + (1 + \tan^2 A) + 4$ $= 1 + 1 + 1 + 4 + \tan^2 A + \cot^2 A$ $= 7 + \tan^2 A + \cot^2 A$ (सिद्ध हुआ)
Q10. यदि $\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \cos \theta$ है, तो सिद्ध कीजिए कि $\cos \theta - \sin \theta = \sqrt{2} \sin \theta$ होगा।
हल:
दिया है: $\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \cos \theta$ दोनों तरफ वर्ग करने पर: $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta = 2\cos^2 \theta$ $1 + 2\sin \theta \cos \theta = 2\cos^2 \theta$ …(i) हमें निकालना है: $(\cos \theta – \sin \theta)^2$ $= \cos^2 \theta + \sin^2 \theta – 2\sin \theta \cos \theta$ $= 1 – 2\sin \theta \cos \theta$ समीकरण (i) से $2\sin \theta \cos \theta = 2\cos^2 \theta – 1$ रखने पर: $= 1 – (2\cos^2 \theta – 1)$ $= 2 – 2\cos^2 \theta = 2(1-\cos^2 \theta) = 2\sin^2 \theta$ वर्गमूल लेने पर: $\cos \theta – \sin \theta = \sqrt{2} \sin \theta$ (सिद्ध हुआ)
📘 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (5 अंक) (Long Question Answer)
Q11. (सबसे महत्वपूर्ण) सिद्ध कीजिए:$$\sqrt{\frac{1 + \sin A}{1 - \sin A}} = \sec A + \tan A$$
विस्तृत हल:
LHS:
अंश और हर को $\sqrt{1 + \sin A}$ से गुणा करने पर (परिमेयकरण):
(क्योंकि $1 – \sin^2 A = \cos^2 A$)
वर्गमूल हटाने पर:
= RHS (सिद्ध हुआ)
Q12.सिद्ध कीजिए:$$\frac{\tan \theta}{1 - \cot \theta} + \frac{\cot \theta}{1 - \tan \theta} = 1 + \sec \theta \operatorname{cosec} \theta$$
विस्तृत हल:
सभी को $\sin$ और $\cos$ में बदलें:
दूसरे पद के हर से ‘-‘ कॉमन लेने पर:
सूत्र $a^3 – b^3 = (a-b)(a^2+b^2+ab)$ का प्रयोग करें:
= RHS (सिद्ध हुआ)
Q13.सिद्ध कीजिए:$$\frac{\cos A - \sin A + 1}{\cos A + \sin A - 1} = \operatorname{cosec} A + \cot A$$
विस्तृत हल:
LHS के अंश और हर को $\sin A$ से भाग देने पर:
अंश में $1$ को $(\operatorname{cosec}^2 A – \cot^2 A)$ लिखने पर:
$(\cot A + \operatorname{cosec} A)$ कॉमन लेने पर:
ब्रैकेट कट जाएंगे:
= RHS (सिद्ध हुआ)
Q14. यदि $\tan \theta + \sin \theta = m$ और $\tan \theta - \sin \theta = n$ है, तो सिद्ध कीजिए कि $m^2 - n^2 = 4\sqrt{mn}$ है।
विस्तृत हल:
LHS ($m^2 – n^2$):
$= (\tan \theta + \sin \theta)^2 – (\tan \theta – \sin \theta)^2$
$= 4 \tan \theta \sin \theta$ (सूत्र $(a+b)^2 – (a-b)^2 = 4ab$ से)
RHS ($4\sqrt{mn}$):
$= 4 \sqrt{(\tan + \sin)(\tan – \sin)}$
$= 4 \sqrt{\tan^2 \theta – \sin^2 \theta}$
$= 4 \sqrt{\frac{\sin^2}{\cos^2} – \sin^2}$
$= 4 \sqrt{\sin^2 \theta (\frac{1}{\cos^2} – 1)}$
$= 4 \sin \theta \sqrt{\sec^2 \theta – 1}$
$= 4 \sin \theta \sqrt{\tan^2 \theta}$
$= 4 \sin \theta \tan \theta$
LHS = RHS (सिद्ध हुआ)
Q15. सिद्ध कीजिए कि:$$(\sin A + \sec A)^2 + (\cos A + \operatorname{cosec} A)^2 = (1 + \sec A \operatorname{cosec} A)^2$$
विस्तृत हल:
LHS का विस्तार करें: $= \sin^2 A + \sec^2 A + 2\sin A \sec A + \cos^2 A + \operatorname{cosec}^2 A + 2\cos A \operatorname{cosec} A$ $= (\sin^2 + \cos^2) + \sec^2 + \operatorname{cosec}^2 + 2\frac{\sin}{\cos} + 2\frac{\cos}{\sin}$ $= 1 + \sec^2 + \operatorname{cosec}^2 + 2(\tan + \cot)$ यह थोड़ा लंबा हो सकता है, आसान तरीका: $(1 + \sec A \operatorname{cosec} A)^2 = 1 + \sec^2 \operatorname{cosec}^2 + 2\sec \operatorname{cosec}$ आप इसे sin/cos में बदलकर हल करें तो दोनों पक्ष बराबर आएंगे: LHS $= ( \frac{\sin \cos + 1}{\cos} )^2 + ( \frac{\cos \sin + 1}{\sin} )^2$ $= (\sin \cos + 1)^2 [ \frac{1}{\cos^2} + \frac{1}{\sin^2} ]$ $= (\sin \cos + 1)^2 [ \frac{\sin^2 + \cos^2}{\sin^2 \cos^2} ]$ $= \frac{(\sin \cos + 1)^2}{\sin^2 \cos^2} = ( \frac{1 + \sin \cos}{\sin \cos} )^2 = ( \operatorname{cosec} \sec + 1 )^2$ (RHS)