class 10 Math - Very Important Question Anwers
Chapter 6 - त्रिभुज (Triangles)
📘 अति लघु उत्तरीय प्रश्न (1 अंक)
Q1.सभी वृत्त (Circles) होते हैं: (A) सर्वांगसम (Congruent) (B) समरूप (Similar) (C) सर्वांगसम और समरूप दोनों (D) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(B) समरूप (कारण: आकार (shape) समान होता है, लेकिन माप (size) अलग हो सकता है)
Q2.$\triangle ABC$ में, $DE || BC$ है। यदि $AD = 1.5$ cm, $DB = 3$ cm और $AE = 1$ cm है, तो $EC$ ज्ञात कीजिए। (A) 1 cm (B) 1.5 cm (C) 2 cm (D) 2.5 cm
उत्तर: (C) 2 cm (थेल्स प्रमेय से: $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \Rightarrow \frac{1.5}{3} = \frac{1}{EC} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{1}{EC} \Rightarrow EC = 2$)
Q3. यदि $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ है, और $\angle A = 32^\circ, \angle R = 65^\circ$ है, तो $\angle B$ का मान है:(A) $32^\circ$(B) $65^\circ$(C) $83^\circ$(D) $97^\circ$
उत्तर:
(C) $83^\circ$ ($\angle P = \angle A = 32^\circ$। अब $\triangle PQR$ में: $180 – (32+65) = 180 – 97 = 83$)
Q4.दो समरूप त्रिभुजों की भुजाओं का अनुपात $4:9$ है। इनके परिमापों (Perimeters) का अनुपात क्या होगा? (A) $2:3$ (B) $4:9$ (C) $16:81$ (D) $81:16$
उत्तर:
(B) $4:9$ (समरूप त्रिभुजों में: परिमाप का अनुपात = भुजाओं का अनुपात)
Q5. एक 6 मीटर ऊंचे खंभे की छाया पृथ्वी पर $2\sqrt{3}$ मीटर लंबी है। सूर्य का उन्नयन कोण (Elevation angle) क्या है? (A) $60^\circ$ (B) $45^\circ$ (C) $30^\circ$ (D) $90^\circ$
उत्तर:
(A) $60^\circ$
($\tan \theta = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \Rightarrow \theta = 60^\circ$)
📘 लघु उत्तरीय प्रश्न (2 अंक)
Q6. आकृति में, यदि $LM || CB$ और $LN || CD$ हो, तो सिद्ध कीजिए कि $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AD}$ है।
हल:
$\triangle ABC$ में, $LM || CB$ है।
BPT द्वारा: $\frac{AM}{AB} = \frac{AL}{AC}$ …(i)
$\triangle ADC$ में, $LN || CD$ है।
BPT द्वारा: $\frac{AN}{AD} = \frac{AL}{AC}$ …(ii)
समीकरण (i) और (ii) से:
$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AD}$ (सिद्ध हुआ)
Q7. एक समलंब (Trapezium) ABCD जिसमें $AB || DC$ है, के विकर्ण परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि $AB = 2CD$ हो, तो $\triangle AOB$ और $\triangle COD$ की भुजाओं का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल:
$\triangle AOB$ और $\triangle COD$ में:
$\angle AOB = \angle COD$ (शीर्षाभिमुख कोण)
$\angle OAB = \angle OCD$ (एकांतर अंतः कोण, क्योंकि $AB || DC$)
अतः $\triangle AOB \sim \triangle COD$ (AA समरूपता से)।
भुजाओं का अनुपात = $\frac{AB}{CD} = \frac{2CD}{CD} = \frac{2}{1}$
उत्तर: $2:1$
Q8. 90 cm की लंबाई वाली एक लड़की बल्ब लगे एक खंभे के आधार से 1.2 m/sec की चाल से दूर जा रही है। यदि बल्ब जमीन से 3.6 m की ऊंचाई पर है, तो 4 सेकंड बाद उस लड़की की छाया की लंबाई ज्ञात कीजिए |
हल:
माना लड़की की छाया $x$ मीटर है। लड़की द्वारा 4 सेकंड में तय दूरी $BD = 1.2 \times 4 = 4.8$ m। त्रिभुज $\triangle ABE$ और $\triangle CDE$ (लड़की और छाया) समरूप होंगे। $\frac{AB}{CD} = \frac{BE}{DE}$ $\frac{3.6}{0.9} = \frac{4.8 + x}{x}$ (90cm = 0.9m) $4 = \frac{4.8 + x}{x}$ $4x = 4.8 + x \Rightarrow 3x = 4.8 \Rightarrow x = 1.6$ उत्तर: छाया 1.6 मीटर लंबी होगी।
Q9. $\triangle PQR$ की भुजाओं $PQ$ और $PR$ पर क्रमशः बिंदु $E$ और $F$ स्थित हैं। यदि $PE=3.9$ cm, $EQ=3$ cm, $PF=3.6$ cm और $FR=2.4$ cm है, तो बताइए कि क्या $EF || QR$ है?
हल:
$\frac{PE}{EQ} = \frac{3.9}{3} = 1.3$ $\frac{PF}{FR} = \frac{3.6}{2.4} = \frac{36}{24} = 1.5$ चूँकि अनुपात बराबर नहीं है ($1.3 \neq 1.5$), अतः $EF$ और $QR$ समांतर नहीं हैं।
Q10. लंबाई 6 मीटर वाले एक ऊर्ध्वाधर स्तंभ की भूमि पर छाया की लंबाई 4 मीटर है, जबकि उसी समय एक मीनार की छाया की लंबाई 28 मीटर है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना मीनार की ऊँचाई $h$ है। $\frac{\text{स्तंभ की ऊँचाई}}{\text{स्तंभ की छाया}} = \frac{\text{मीनार की ऊँचाई}}{\text{मीनार की छाया}}$ $\frac{6}{4} = \frac{h}{28}$ $h = \frac{6 \times 28}{4} = 6 \times 7 = 42$ उत्तर: मीनार की ऊँचाई 42 मीटर है।
📘 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (5 अंक) (Long Question Answer)
Q11.(Most Important) आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय (BPT / थेल्स प्रमेय) का कथन लिखिए और उसे सिद्ध कीजिए। कथन: "यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए, तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।"
सिद्ध करना है: $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$
रचना: $B$ को $E$ से और $C$ को $D$ से मिलाइए। $DM \perp AC$ और $EN \perp AB$ खींचिए।
उपपत्ति (Proof):
$\text{ar}(\triangle ADE) = \frac{1}{2} \times AD \times EN$
$\text{ar}(\triangle BDE) = \frac{1}{2} \times DB \times EN$
अनुपात: $\frac{\text{ar}(\triangle ADE)}{\text{ar}(\triangle BDE)} = \frac{AD}{DB}$ …(i)
$\text{ar}(\triangle ADE) = \frac{1}{2} \times AE \times DM$
$\text{ar}(\triangle DEC) = \frac{1}{2} \times EC \times DM$
अनुपात: $\frac{\text{ar}(\triangle ADE)}{\text{ar}(\triangle DEC)} = \frac{AE}{EC}$ …(ii)
$\triangle BDE$ और $\triangle DEC$ एक ही आधार $DE$ और समांतर रेखाओं $BC || DE$ के बीच स्थित हैं।
अतः $\text{ar}(\triangle BDE) = \text{ar}(\triangle DEC)$ …(iii)
समीकरण (i), (ii) और (iii) से:
$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$ (इति सिद्धम्)
Q12.$CM$ और $RN$ क्रमशः $\triangle ABC$ और $\triangle PQR$ की माध्यिकाएँ (Medians) हैं। यदि $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ है, तो सिद्ध कीजिए कि: (i) $\triangle AMC \sim \triangle PNR$ (ii) $\frac{CM}{RN} = \frac{AB}{PQ}$
विस्तृत हल:
(i) सिद्ध करना है $\triangle AMC \sim \triangle PNR$:
चूँकि $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ है, तो:
$\frac{AC}{PR} = \frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR}$ और $\angle A = \angle P$
$\frac{AB}{PQ}$ को हम $\frac{2AM}{2PN}$ लिख सकते हैं (क्योंकि $M$ और $N$ मध्य बिंदु हैं)।
$\Rightarrow \frac{AM}{PN} = \frac{AC}{PR}$
अब $\triangle AMC$ और $\triangle PNR$ में:
$\frac{AC}{PR} = \frac{AM}{PN}$ और $\angle A = \angle P$
अतः SAS समरूपता से, $\triangle AMC \sim \triangle PNR$।
(ii) सिद्ध करना है $\frac{CM}{RN} = \frac{AB}{PQ}$:
चूँकि $\triangle AMC \sim \triangle PNR$ (ऊपर सिद्ध किया), तो उनकी भुजाएँ समानुपाती होंगी:
$\frac{CM}{RN} = \frac{AM}{PN}$
हम जानते हैं कि $AM = AB/2$ और $PN = PQ/2$ है।
$\frac{CM}{RN} = \frac{AB/2}{PQ/2} = \frac{AB}{PQ}$ (सिद्ध हुआ)
Q13. एक चतुर्भुज $ABCD$ के विकर्ण परस्पर बिंदु $O$ पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि $\frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}$ है। दर्शाइए कि $ABCD$ एक समलंब (Trapezium) है।
विस्तृत हल:
दिया है: $\frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO} \Rightarrow \frac{AO}{CO} = \frac{BO}{DO}$
रचना: $O$ से एक रेखा $OE || AB$ खींचिए जो $AD$ को $E$ पर मिले।
उपपत्ति:
$\triangle DAB$ में, $EO || AB$ है।
BPT से: $\frac{AE}{ED} = \frac{BO}{DO}$ …(i)
दिया है: $\frac{AO}{CO} = \frac{BO}{DO}$ …(ii)
(i) और (ii) से: $\frac{AE}{ED} = \frac{AO}{CO}$
अब $\triangle ADC$ में, बिंदुओं $E$ और $O$ ने भुजाओं $AD$ और $AC$ को समान अनुपात में विभाजित किया है।
अतः, BPT के विलोम (Converse of BPT) से: $EO || DC$
हमने माना था $OE || AB$, और सिद्ध किया $OE || DC$।
इसका अर्थ है $AB || DC$।
चूँकि सम्मुख भुजाओं का एक युग्म समांतर है, अतः $ABCD$ एक समलंब है।
Q14. आकृति में, $\frac{QR}{QS} = \frac{QT}{PR}$ तथा $\angle 1 = \angle 2$ है। दर्शाइए कि $\triangle PQS \sim \triangle TQR$ है।
विस्तृत हल:
दिया है: $\triangle PQR$ में $\angle 1 = \angle 2$ (यानी $\angle PQR = \angle PRQ$)।
समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ समान होती हैं, इसलिए $PQ = PR$।
समीकरण $\frac{QR}{QS} = \frac{QT}{PR}$ में $PR$ की जगह $PQ$ रखने पर:
$\frac{QR}{QS} = \frac{QT}{PQ}$
इसे पलट कर लिखने पर: $\frac{PQ}{QT} = \frac{QS}{QR}$ …(i)
अब $\triangle PQS$ और $\triangle TQR$ में:
$\frac{PQ}{QT} = \frac{QS}{QR}$ (समीकरण i से)
$\angle Q = \angle Q$ (उभयनिष्ठ/Common)
अतः SAS समरूपता कसौटी से:
$\triangle PQS \sim \triangle TQR$
Q15. प्रश्न: $\triangle ABC$ की भुजा $BC$ पर एक बिंदु $D$ इस प्रकार स्थित है कि $\angle ADC = \angle BAC$ है। दर्शाइए कि $CA^2 = CB.CD$ है।
विस्तृत हल:
$\triangle ABC$ और $\triangle DAC$ की तुलना करने पर:
$\angle BAC = \angle ADC$ (दिया है)
$\angle C = \angle C$ (उभयनिष्ठ)
AA समरूपता से: $\triangle ABC \sim \triangle DAC$
भुजाएँ समानुपाती होंगी:
$\frac{CA}{CD} = \frac{CB}{CA}$
तिर्यक गुणा करने पर:
$CA \times CA = CB \times CD$
$CA^2 = CB.CD$ (सिद्ध हुआ)