class 10 Math - Very Important Question Anwers

Chapter 5 -समांतर श्रेढ़ियाँ (Arithmetic Progressions)

📘 अति लघु उत्तरीय प्रश्न (1 अंक)

Q1.AP: 10, 7, 4, ... का 30वाँ पद है: (A) 97 (B) 77 (C) -77 (D) -87

उत्तर:

Q2.यदि किसी AP का सार्व अंतर ($d$) = -4 और 7वाँ पद ($a_7$) = 4 है, तो प्रथम पद ($a$) क्या होगा? (A) 16 (B) 20 (C) 24 (D) 28

उत्तर:

(D) 28 (हल: $a_7 = a + 6d \Rightarrow 4 = a + 6(-4) \Rightarrow 4 = a - 24 \Rightarrow a = 28$ )

Q3. उस AP के प्रथम 15 पदों का योग क्या है, जिसके लिए $a_n = 9 - 5n$ है?(A) -465(B) -450(C) 465(D) 450

उत्तर:

(A) -465 (हल: $a_1 = 4, a_{15} = 9-75 = -66$ . $S_{15} = \frac{15}{2}(4 - 66) = \frac{15}{2}(-62) = 15 \times -31$ )

Q4.प्रथम 100 प्राकृत संख्याओं का योग ज्ञात करने के लिए किस सूत्र का प्रयोग करेंगे?(A) $n(n+1)$(B) $n^2$(C) $\frac{n(n+1)}{2}$(D) $n(n-1)$

उत्तर: (C) $\frac{n(n+1)}{2}$

Q5. श्रेणी $1^2, 5^2, 7^2, 73...$ एक AP है? (A) नहीं (B) हाँ (C) कह नहीं सकते (D) इनमें से कोई नहीं

उत्तर:

(B) या (C) हो सकता है, लेकिन सही विकल्प (C) है क्योंकि $a_1/a_2 = b_1/b_2 \neq c_1/c_2$ होना चाहिए।

(2/4 = 3/6 $\neq$ -8/-8 $\Rightarrow$ 1/2 = 1/2 $\neq$ 1)

📘 लघु उत्तरीय प्रश्न (2 अंक)

Q6. दो अंकों वाली कितनी संख्याएँ 3 से विभाज्य हैं?

हल:

AP: 12, 15, 18, …, 99 $a = 12, d = 3, a_n = 99$ $a_n = a + (n-1)d$ $99 = 12 + (n-1)3$ $87 = 3(n-1)$ $29 = n - 1 \Rightarrow n = 30$ उत्तर: 30 संख्याएँ।

Q7. वह AP ज्ञात कीजिए जिसका तीसरा पद 5 और 7वाँ पद 9 है

हल:

$a_3 = a + 2d = 5$ …(i) $a_7 = a + 6d = 9$ …(ii) (ii) – (i) से: $4d = 4 \Rightarrow d = 1$ $d$ का मान (i) में: $a + 2 = 5 \Rightarrow a = 3$ उत्तर: AP: 3, 4, 5, 6…

📘 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (5 अंक) (Long Question Answer)

Q8. किसी AP के प्रथम 7 पदों का योग 49 है और प्रथम 17 पदों का योग 289 है। इसके प्रथम $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।

विस्तृत हल:

चरण 1: दिया है

$S_7 = 49$

$S_{17} = 289$

चरण 2: समीकरण बनाना

योग का सूत्र: $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$

स्थिति 1 ($n=7$):
$49 = \frac{7}{2}[2a + (7-1)d]$
$49 = \frac{7}{2}[2a + 6d]$
$49 = \frac{7}{2} \times 2[a + 3d]$
$49 = 7(a + 3d)$
$7 = a + 3d$ …(i)
स्थिति 2 ($n=17$):
$289 = \frac{17}{2}[2a + 16d]$
$289 = \frac{17}{2} \times 2[a + 8d]$
$289 = 17(a + 8d)$
$17 = a + 8d$ …(ii)

चरण 3: $a$ और $d$ ज्ञात करना

समीकरण (ii) में से (i) घटाने पर:

$(a + 8d) – (a + 3d) = 17 – 7$

$5d = 10 \Rightarrow d = 2$

$d=2$ समीकरण (i) में रखने पर:

$a + 3(2) = 7 \Rightarrow a + 6 = 7 \Rightarrow a = 1$

चरण 4: $S_n$ ज्ञात करना

$S_n = \frac{n}{2}[2(1) + (n-1)2]$

$S_n = \frac{n}{2}[2 + 2n – 2]$

$S_n = \frac{n}{2}[2n]$

$S_n = n^2$

उत्तर: प्रथम $n$ पदों का योग $n^2$ है।

Q9.एक निर्माता टीवी सेटों के तीसरे वर्ष में 600 टीवी तथा 7वें वर्ष में 700 टीवी का उत्पादन करता है। यह मानते हुए कि उत्पादन में एक समान रूप से एक निश्चित संख्या में वृद्धि होती है, ज्ञात कीजिए: (i) प्रथम वर्ष में उत्पादन (ii) 10वें वर्ष में उत्पादन (iii) प्रथम 7 वर्षों में कुल उत्पादन

विस्तृत हल:

चरण 1: AP बनाना

पंक्तियों में लट्ठे: $20, 19, 18, \dots$

यहाँ $a = 20$, $d = 19 – 20 = -1$

कुल योग ($S_n$) = 200

चरण 2: $n$ ज्ञात करना (पंक्तियों की संख्या)

$S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$

$200 = \frac{n}{2}[2(20) + (n-1)(-1)]$

$400 = n[40 – n + 1]$

$400 = n[41 – n]$

$400 = 41n – n^2$

$n^2 – 41n + 400 = 0$ (द्विघात समीकरण)

चरण 3: गुणनखंड करना

$400$ के ऐसे गुणनखंड जिनका योग 41 हो $\rightarrow 25$ और $16$ ($25 \times 16 = 400$)

$n^2 – 25n – 16n + 400 = 0$

$n(n – 25) – 16(n – 25) = 0$

$(n – 16)(n – 25) = 0$

$n = 16$ या $n = 25$

चरण 4: मान की जाँच

यदि $n = 25$ पंक्तियाँ हों, तो 25वीं पंक्ति में लट्ठे ($a_{25}$):
$a_{25} = 20 + 24(-1) = 20 – 24 = -4$ (जो असंभव है, लट्ठे ऋणात्मक नहीं हो सकते)।
$\therefore n = 25$ अमान्य है।
यदि $n = 16$ पंक्तियाँ हों, तो 16वीं पंक्ति में लट्ठे ($a_{16}$):
$a_{16} = 20 + 15(-1) = 20 – 15 = 5$ (संभव है)।

उत्तर: कुल 16 पंक्तियाँ हैं और सबसे ऊपरी पंक्ति में 5 लट्ठे हैं।

Q10. 200 लट्ठों (logs) को ढेरी के रूप में इस प्रकार रखा जाता है: सबसे नीचे वाली पंक्ति में 20 लट्ठे, उससे अगली पंक्ति में 19, उससे अगली में 18, इत्यादि। ये 200 लट्ठे कितनी पंक्तियों में रखे गए हैं और सबसे ऊपरी पंक्ति में कितने लट्ठे हैं?

उत्तर:

माना संख्याएँ $x$ और $y$ हैं ( $x > y$ ) $x - y = 26$ $x = 3y$ प्रतिस्थापन करें: $3y - y = 26 \Rightarrow 2y = 26 \Rightarrow y = 13$ $x = 3(13) = 39$ उत्तर: 39 और 13

Q11. केंद्र A से प्रारंभ करते हुए, बारी-बारी से केंद्रों A और B को लेते हुए, त्रिज्याओं 0.5 cm, 1.0 cm, 1.5 cm... वाले उत्तरोत्तर अर्धवृत्तों को खींचकर एक सर्पिल (Spiral) बनाया गया है। 13 क्रमागत अर्धवृत्तों से बने इस सर्पिल की कुल लंबाई क्या है? ($\pi = 22/7$ लें)

विस्तृत हल:

चरण 1: अर्धवृत्त की परिधि

अर्धवृत्त की परिधि (लंबाई) $= \pi r$ होती है।

$l_1 = \pi (0.5)$

$l_2 = \pi (1.0)$

$l_3 = \pi (1.5)$

यह एक AP है: $\pi(0.5), \pi(1.0), \pi(1.5), \dots$

यहाँ $a = 0.5\pi$

$d = 1.0\pi – 0.5\pi = 0.5\pi$

$n = 13$ (कुल अर्धवृत्त)

चरण 2: कुल लंबाई ($S_{13}$)

$S_{13} = \frac{13}{2} [2a + (13-1)d]$

$S_{13} = \frac{13}{2} [2(0.5\pi) + 12(0.5\pi)]$

$S_{13} = \frac{13}{2} [\pi + 6\pi]$

$S_{13} = \frac{13}{2} [7\pi]$

चरण 3: मान रखना

$S_{13} = \frac{13}{2} \times 7 \times \frac{22}{7}$

$S_{13} = \frac{13}{2} \times 22$

$S_{13} = 13 \times 11$

$S_{13} = 143$

उत्तर: सर्पिल की कुल लंबाई 143 cm है।

Q12. एक आलू दौड़ (Potato Race) में, प्रारंभिक स्थान पर एक बाल्टी रखी हुई है, जो पहले आलू से 5 मीटर की दूरी पर है, तथा अन्य आलूओं को एक सीधी रेखा में परस्पर 3 मीटर की दूरियों पर रखा गया है। इस रेखा पर 10 आलू रखे गए हैं। प्रत्येक प्रतियोगी को बाल्टी से चलना है, निकटतम आलू को उठाना है, उसे लेकर वापस बाल्टी में डालना है। कुल कितनी दूरी दौड़नी पड़ेगी?

विस्तृत हल:

चरण 1: दूरी का पैटर्न समझना

पहला आलू उठाने के लिए दूरी: जाना 5m + आना 5m = 10 m
दूसरा आलू (5+3=8m दूर): जाना 8m + आना 8m = 16 m
तीसरा आलू (8+3=11m दूर): जाना 11m + आना 11m = 22 m

AP बनी: 10, 16, 22, …

यहाँ $a = 10$, $d = 6$, $n = 10$ (कुल 10 आलू)

चरण 2: कुल दूरी ($S_{10}$)

$S_{10} = \frac{10}{2} [2(10) + (10-1)6]$

$= 5 [20 + 9(6)]$

$= 5 [20 + 54]$

$= 5 [74]$

$= 370$

उत्तर: प्रतियोगी को कुल 370 मीटर दौड़ना पड़ेगा।