class 10 Math - Very Important Question Anwers
Chapter 3 - दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म (Pair of Linear Equations in Two Variables)
यह चैप्टर ग्राफ़ (Graph), प्रतिस्थापन (Substitution), और विलोपन (Elimination) विधि पर आधारित है। साथ ही, ‘k का मान ज्ञात करें’ वाले प्रश्न बहुत महत्वपूर्ण हैं।
📘 अति लघु उत्तरीय प्रश्न (1 अंक)
Q1. यदि समीकरण युग्म $2x + 3y = 5$ और $4x + ky = 10$ के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं, तो $k$ का मान है: (A) 1 (B) 3 (C) 6 (D) 1/2
उत्तर: (C) 6
(शर्त: $a_1/a_2 = b_1/b_2 = c_1/c_2 \Rightarrow 2/4 = 3/k \Rightarrow 1/2 = 3/k \Rightarrow k = 6$)
Q2.समीकरण $x - y = 2$ और $x + y = 4$ का हल है: (A) $x=3, y=1$ (B) $x=1, y=3$ (C) $x=5, y=1$ (D) $x=3, y=-1$
उत्तर:
(A) $x=3, y=1$ (दोनों को जोड़ने पर $2x = 6 \Rightarrow x = 3$)
Q3. यदि रैखिक समीकरणों का युग्म संगत (Consistent) है, तो रेखाएँ होंगी: (A) समांतर (B) सदैव संपाती (C) प्रतिच्छेदी या संपाती (D) सदैव प्रतिच्छेदी
उत्तर: (C) प्रतिच्छेदी या संपाती
Q4. $k$ के किस मान के लिए समीकरण $x + 2y = 7$ और $2x + ky = 14$ संपाती रेखाओं को प्रदर्शित करेंगे?(A) 3(B) 4(C) 2(D) 1
उत्तर: (B) 4
($1/2 = 2/k \Rightarrow k = 4$)
Q5. एक रैखिक समीकरण $2x + 3y - 8 = 0$ दी गई है। दो चरों में एक और रैखिक समीकरण लिखिए ताकि युग्म का ज्यामितीय निरूपण समांतर रेखाएँ हों। (A) $4x + 6y - 16 = 0$ (B) $2x + 3y - 12 = 0$ (C) $4x + 6y - 8 = 0$ (D) $5x + 7y - 9 = 0$
उत्तर: (B) या (C) हो सकता है, लेकिन सही विकल्प (C) है क्योंकि $a_1/a_2 = b_1/b_2 \neq c_1/c_2$ होना चाहिए।
(2/4 = 3/6 $\neq$ -8/-8 $\Rightarrow$ 1/2 = 1/2 $\neq$ 1)
Q6. यदि $2x + 3y = 12$ और $3x - 2y = 5$ है, तो: (A) $x=2, y=3$ (B) $x=2, y=-3$ (C) $x=3, y=2$ (D) $x=3, y=-2$
उत्तर: प्रश्न में जानकारी अधूरी लग रही है, लेकिन हल करने पर शून्यक $1/3$ और $-4$ आते हैं।
Q7.समीकरण $y = 0$ और $y = -7$ के युग्म के: (A) एक हल है (B) दो हल हैं (C) अपरिमित हल हैं (D) कोई हल नहीं है
उत्तर: (D) कोई हल नहीं है (ये दोनों समांतर क्षैतिज रेखाएँ हैं जो कभी नहीं मिलेंगी)
📘 लघु उत्तरीय प्रश्न (2 अंक)
Q8. $k$ के किस मान के लिए रैखिक समीकरण युग्म $kx + 3y - (k-3) = 0$ और $12x + ky - k = 0$ के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे?
उत्तर:
शर्त: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$
$\frac{k}{12} = \frac{3}{k} = \frac{-(k-3)}{-k}$
पहले दो से: $k^2 = 36 \Rightarrow k = \pm 6$
अंतिम दो से: $3k = k(k-3) \Rightarrow 3k = k^2 – 3k \Rightarrow k^2 – 6k = 0 \Rightarrow k(k-6)=0$
दोनों में कॉमन मान $k = 6$ है।
Q9. प्रतिस्थापन विधि (Substitution Method) से हल करें: $x + y = 14$ और $x - y = 4$
उत्तर:
$x = 4 + y$ को पहले समीकरण में रखें: $(4+y) + y = 14 \Rightarrow 2y = 10 \Rightarrow y = 5$ $x = 4 + 5 = 9$
उत्तर: $x=9, y=5$
Q10. क्या रैखिक समीकरण युग्म $3x + 2y = 5$ और $2x - 3y = 7$ संगत है?
उत्तर:
$a_1/a_2 = 3/2$
$b_1/b_2 = 2/-3 = -2/3$
चूँकि $a_1/a_2 \neq b_1/b_2$, अतः रेखाएँ प्रतिच्छेदी हैं और युग्म संगत (Consistent) है।
Q11. हल कीजिए: $2x + 3y = 11$ और $2x - 4y = -24$ + 11x - 6$ का एक गुणनखंड है?
उत्तर:
विलोपन विधि से (घटाने पर):
$(2x+3y) – (2x-4y) = 11 – (-24)$
$7y = 35 \Rightarrow y = 5$
$2x + 3(5) = 11 \Rightarrow 2x = 11 – 15 = -4 \Rightarrow x = -2$
उत्तर: $x=-2, y=5$
Q12.. पिता की आयु पुत्र की आयु की तीन गुनी है। 5 वर्ष बाद, पिता की आयु पुत्र की आयु की ढ़ाई गुनी हो जाएगी। वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
माना पुत्र की आयु $x$, पिता की $y$
$y = 3x$
$y + 5 = 2.5(x + 5) \Rightarrow y + 5 = 2.5x + 12.5 \Rightarrow y – 2.5x = 7.5$
मान रखने पर: $3x – 2.5x = 7.5 \Rightarrow 0.5x = 7.5 \Rightarrow x = 15$
पिता $y = 3(15) = 45$
उत्तर: पुत्र 15 वर्ष, पिता 45 वर्ष।
📘 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (3 अंक) (Long Question Answer)
Q13. विलोपन विधि (Elimination Method) का प्रयोग करके हल कीजिए: $\frac{x}{2} + \frac{2y}{3} = -1$ और $x - \frac{y}{3} = 3$
उत्तर:
सरल करने पर:
$3x + 4y = -6$
$3x – y = 9$
समीकरण (1) में से (2) घटाने पर:
$(3x+4y) – (3x-y) = -6 – 9$
$5y = -15 \Rightarrow y = -3$
$y$ का मान (2) में रखें: $3x – (-3) = 9 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2$
उत्तर: $x=2, y=-3$
Q14. 5 संतरों और 3 सेबों का मूल्य 35 रुपये है तथा 2 संतरों और 4 सेबों का मूल्य 28 रुपये है। एक संतरा और एक सेब का मूल्य ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
माना संतरा $x$, सेब $y$ $5x + 3y = 35$ …(i) $2x + 4y = 28 \Rightarrow x + 2y = 14 \Rightarrow x = 14 – 2y$ …(ii) (ii) का मान (i) में रखें: $5(14-2y) + 3y = 35$ $70 – 10y + 3y = 35$ $-7y = -35 \Rightarrow y = 5$ $x = 14 – 2(5) = 4$
उत्तर: संतरा ₹4, सेब ₹5
Q15. दो संख्याओं का अंतर 26 है और एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
माना संख्याएँ $x$ और $y$ हैं ($x > y$) $x – y = 26$ $x = 3y$ प्रतिस्थापन करें: $3y – y = 26 \Rightarrow 2y = 26 \Rightarrow y = 13$ $x = 3(13) = 39$ उत्तर: 39 और 13
Q16. $p$ के किन मानों के लिए, निम्न समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल (Unique Solution) है? $4x + py + 8 = 0$ $2x + 2y + 2 = 0$
उत्तर: अद्वितीय हल की शर्त: $a_1/a_2 \neq b_1/b_2$ $4/2 \neq p/2$ $2 \neq p/2$ $p \neq 4$
उत्तर: 4 के अतिरिक्त सभी वास्तविक मानों के लिए।
📘 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (5 अंक) (Very Long Question Answer)
Q17. एक भिन्न (Fraction) 1/3 हो जाती है जब उसके अंश से 1 घटाया जाता है और वह 1/4 हो जाती है जब हर में 8 जोड़ दिया जाता है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
माना भिन्न $x/y$ है।
$\frac{x-1}{y} = \frac{1}{3} \Rightarrow 3x – 3 = y \Rightarrow 3x – y = 3$ …(i)
$\frac{x}{y+8} = \frac{1}{4} \Rightarrow 4x = y + 8 \Rightarrow 4x – y = 8$ …(ii)
(ii) में से (i) घटाने पर:
$(4x-y) – (3x-y) = 8 – 3$
$x = 5$
$x$ का मान (i) में: $3(5) – y = 3 \Rightarrow 15 – 3 = y \Rightarrow y = 12$
उत्तर: भिन्न 5/12 है।
Q18. दो अंकों की एक संख्या और उसके अंकों को पलटने से बनी संख्या का योग 66 है। यदि संख्या के अंकों का अंतर 2 हो, तो संख्या ज्ञात कीजिए। ऐसी कितनी संख्याएँ हैं?
उत्तर:
माना दहाई का अंक $x$ और इकाई का $y$ है। संख्या $= 10x + y$
पलटने पर $= 10y + x$
योग: $(10x+y) + (10y+x) = 66 \Rightarrow 11x + 11y = 66 \Rightarrow x+y=6$
अंतर: $x – y = 2$ या $y – x = 2$
स्थिति 1: $x+y=6$ और $x-y=2$ को हल करने पर $x=4, y=2$ (संख्या 42)
स्थिति 2: $x+y=6$ और $y-x=2$ को हल करने पर $y=4, x=2$ (संख्या 24)
उत्तर: संख्याएँ 42 और 24 हैं। (कुल 2 संख्याएँ)
Q19. ऋतु धारा के अनुकूल (Downstream) 2 घंटे में 20 km तैर सकती है और धारा के प्रतिकूल (Upstream) 2 घंटे में 4 km तैर सकती है। उसकी स्थिर जल में तैरने की चाल तथा धारा की चाल ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
माना ऋतु की चाल $x$ km/h और धारा की चाल $y$ km/h
अनुकूल चाल $= x + y$
प्रतिकूल चाल $= x – y$
$\text{समय} = \text{दूरी}/\text{चाल} \Rightarrow 2 = 20 / (x+y) \Rightarrow x+y = 10$
$2 = 4 / (x-y) \Rightarrow x-y = 2$
दोनों को जोड़ने पर: $2x = 12 \Rightarrow x = 6$ km/h
$6 + y = 10 \Rightarrow y = 4$ km/h
उत्तर: ऋतु 6 km/h, धारा 4 km/h
Q20. एक आयताकार बाग, जिसकी लंबाई, चौड़ाई से 4 मीटर अधिक है, का अर्धपरिमाप 36 मीटर है। बाग की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
लंबाई $= x$, चौड़ाई $= y$
$x = y + 4 \Rightarrow x – y = 4$
अर्धपरिमाप $= (x+y) = 36$
दोनों को जोड़ने पर: $2x = 40 \Rightarrow x = 20$ मीटर
$20 – y = 4 \Rightarrow y = 16$ मीटर
उत्तर: लंबाई 20m, चौड़ाई 16m