class 10 Math - Very Important Question Anwers
Chapter 14 - प्रायिकता (Probability)
📘 अति लघु उत्तरीय प्रश्न (1 अंक)
Q1. निम्न में से कौन सी संख्या किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती?(A) $2/3$(B) $-1.5$(C) $15\%$(D) $0.7$
उत्तर: (B) $-1.5$ (प्रायिकता कभी भी ऋणात्मक नहीं हो सकती और 0 से 1 के बीच होती है)
Q2. यदि $P(E) = 0.05$ है, तो 'E नहीं' की प्रायिकता ($P(\bar{E})$) क्या है?(A) $0.05$(B) $0.5$(C) $0.95$(D) $1.05$
उत्तर: (C) $0.95$ (सूत्र: $P(\bar{E}) = 1 – P(E) = 1 – 0.05 = 0.95$)
Q3. एक पासे को एक बार फेंका जाता है। एक अभाज्य संख्या (Prime Number) प्राप्त करने की प्रायिकता है:(A) $1/2$(B) $1/3$(C) $2/3$(D) $1/6$
उत्तर: (A) $1/2$ (अभाज्य संख्याएँ: 2, 3, 5 (कुल 3)। $P = 3/6 = 1/2$)
Q4. अच्छी तरह से फेंटी गई 52 ताशों की एक गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। इसके एक 'तस्वीर वाला पत्ता' (Face Card) होने की प्रायिकता है:(A) $1/13$(B) $3/13$(C) $4/13$(D) $1/4$
उत्तर: (B) $3/13$ (कुल फेस कार्ड = 12 (J, Q, K चारों सूट के)। $P = 12/52 = 3/13$)
Q5. एक असंभव घटना (Impossible Event) की प्रायिकता होती है:(A) 1(B) 0(C) $1/2$(D) परिभाषित नहीं
उत्तर: (B) 0
📘 लघु उत्तरीय प्रश्न (2/3 अंक)
Q6. एक थैले में 3 लाल और 5 काली गेंदें हैं। इस थैले में से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। इसकी प्रायिकता क्या है कि गेंद: (i) लाल हो? (ii) लाल नहीं हो?
हल: कुल गेंदें = $3 + 5 = 8$ (i) $P(\text{Red}) = \frac{3}{8}$ (ii) $P(\text{Not Red}) = 1 – \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$ (या काली गेंद की प्रायिकता)
Q7.एक डिब्बे में 5 लाल कंचे, 8 सफेद कंचे और 4 हरे कंचे हैं। इस डिब्बे में से एक कंचा यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाला गया कंचा: (i) लाल है? (ii) हरा नहीं है?
हल: कुल कंचे = $5 + 8 + 4 = 17$ (i) $P(\text{Red}) = \frac{5}{17}$ (ii) ‘हरा नहीं’ का मतलब लाल या सफेद हो सकता है। अनुकूल परिणाम = $5 + 8 = 13$ $P(\text{Not Green}) = \frac{13}{17}$
Q8. दो खिलाड़ी संगीता और रेशमा टेनिस का एक मैच खेलते हैं। यह ज्ञात है कि संगीता द्वारा मैच जीतने की प्रायिकता $0.62$ है। रेशमा के जीतने की क्या प्रायिकता है?
हल:
$P(\text{Sangeeta}) + P(\text{Reshma}) = 1$
$0.62 + P(\text{Reshma}) = 1$
$P(\text{Reshma}) = 1 – 0.62 = 0.38$
उत्तर: $0.38$
Q9. एक पिग्गी बैंक (Piggy Bank) में, 50 पैसे के 100 सिक्के, 1 रुपये के 50 सिक्के, 2 रुपये के 20 सिक्के और 5 रुपये के 10 सिक्के हैं। यदि पिग्गी बैंक को हिलाकर उल्टा करने पर कोई एक सिक्का गिरने के परिणाम समप्रायिक हैं, तो इसकी क्या प्रायिकता है कि वह गिरा हुआ सिक्का: (i) 50 पैसे का होगा? (ii) 5 रुपये का नहीं होगा?
हल: कुल सिक्के = $100 + 50 + 20 + 10 = 180$ (i) $P(50p) = \frac{100}{180} = \frac{5}{9}$ (ii) $P(\text{Not } \text{₹}5) = \frac{180 – 10}{180} = \frac{170}{180} = \frac{17}{18}$
Q10. एक पासे को एक बार फेंका जाता है। निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए: (i) 2 और 6 के बीच स्थित कोई संख्या (ii) एक विषम संख्या
हल: कुल परिणाम = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = 6 (i) 2 और 6 के बीच संख्याएँ: {3, 4, 5} (कुल 3) $P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ (ii) विषम संख्याएँ: {1, 3, 5} (कुल 3) $P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
📘 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (5 अंक) (Long Question Answer)
Q11. (ताश के पत्तों पर विस्तृत प्रश्न) 52 पत्तों की अच्छी तरह से फेंटी गई गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए: (i) लाल रंग का बादशाह (ii) एक तस्वीर वाला पत्ता (Face Card) (iii) लाल रंग का तस्वीर वाला पत्ता (iv) पान का गुलाम (Jack of Hearts) (v) हुकुम का पत्ता (Spade)
विस्तृत हल:
कुल पत्ते = 52
(i) लाल रंग का बादशाह:
लाल बादशाह 2 होते हैं (पान और ईंट)।
$P = \frac{2}{52} = \frac{1}{26}$
(ii) एक फेस कार्ड:
कुल फेस कार्ड = 12 (4J, 4Q, 4K)
$P = \frac{12}{52} = \frac{3}{13}$
(iii) लाल रंग का फेस कार्ड:
लाल फेस कार्ड = 6 (3 पान के + 3 ईंट के)
$P = \frac{6}{52} = \frac{3}{26}$
(iv) पान का गुलाम:
पान का गुलाम केवल 1 होता है।
$P = \frac{1}{52}$
(v) हुकुम का पत्ता:
हुकुम के कुल 13 पत्ते होते हैं।
$P = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$
Q12. दो पासों को एक साथ फेंका जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि: (i) दोनों पासों पर आने वाली संख्याओं का योग 8 हो? (ii) दोनों पासों पर समान संख्या (Doublet) आए? (iii) दोनों पासों पर आने वाली संख्याओं का गुणनफल 12 हो?
विस्तृत हल:
कुल संभव परिणाम = $6 \times 6 = 36$
(i) योग 8:
अनुकूल परिणाम: {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)} $\rightarrow$ कुल 5
$P(\text{Sum 8}) = \frac{5}{36}$
(ii) समान संख्या (Doublet):
अनुकूल परिणाम: {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} $\rightarrow$ कुल 6
$P(\text{Doublet}) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$
(iii) गुणनफल 12:
अनुकूल परिणाम: {(2,6), (3,4), (4,3), (6,2)} $\rightarrow$ कुल 4
$P(\text{Product 12}) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$।
Q13. एक थैले में 5 लाल गेंदें और कुछ नीली गेंदें हैं। यदि इस थैले में से नीली गेंद निकालने की प्रायिकता लाल गेंद निकालने की प्रायिकता की दुगुनी है, तो थैले में नीली गेंदों की संख्या ज्ञात कीजिए।
विस्तृत हल:
माना लाल गेंदें $= 5$
माना नीली गेंदें $= x$
कुल गेंदें $= 5 + x$
लाल गेंद की प्रायिकता:
$P(\text{Red}) = \frac{5}{5+x}$
नीली गेंद की प्रायिकता:
$P(\text{Blue}) = \frac{x}{5+x}$
शर्त: $P(\text{Blue}) = 2 \times P(\text{Red})$
$\frac{x}{5+x} = 2 \times \frac{5}{5+x}$
(हर $5+x$ दोनों तरफ से कट जाएगा)
$x = 10$
उत्तर: थैले में 10 नीली गेंदें हैं।
Q14. एक लीप वर्ष (Leap Year) में 53 रविवार होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। (यह प्रश्न सामान्य वर्ष के लिए भी पूछा जा सकता है, दोनों का अंतर समझें)
विस्तृत हल:
लीप वर्ष में दिन: 366 दिन।
सप्ताहों की गणना:
$366 \div 7 = 52$ सप्ताह + 2 दिन शेष।
52 सप्ताह में 52 रविवार तो पक्के होंगे।
अब सवाल उन 2 शेष दिनों का है। ये 2 दिन निम्न हो सकते हैं:
सोम-मंगल
मंगल-बुध
बुध-गुरु
गुरु-शुक्र
शुक्र-शनि
शनि-रवि (रविवार है)
रवि-सोम (रविवार है)
कुल संभव परिणाम = 7
अनुकूल परिणाम (जिसमें रविवार है) = 2 (शनि-रवि, रवि-सोम)
उत्तर: $P(53 \text{ Sundays}) = \frac{2}{7}$
(नोट: यदि यह सामान्य वर्ष (365 दिन) होता, तो 1 दिन शेष बचता और प्रायिकता $1/7$ होती)
Q15. 3 सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है। निम्नलिखित प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए: (i) ठीक दो चित (Exactly two heads) (ii) कम से कम दो चित (At least two heads) (iii) कोई चित नहीं (No head)
विस्तृत हल:
कुल परिणाम ($2^3$): {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT} = 8
(i) ठीक दो चित:
{HHT, HTH, THH} $\rightarrow$ कुल 3
$P = \frac{3}{8}$
(ii) कम से कम दो चित (मतलब 2 या 3):
{HHT, HTH, THH, HHH} $\rightarrow$ कुल 4
$P = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
(iii) कोई चित नहीं (मतलब तीनों पट/T):
{TTT} $\rightarrow$ कुल 1
$P = \frac{1}{8}$