class 10 Math - Very Important Question Anwers

Chapter 11 - वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल (Areas Related to Circles)

📘 अति लघु उत्तरीय प्रश्न (1 अंक)

Q1. यदि एक वृत्त का परिमाप और क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से बराबर है, तो उस वृत्त की त्रिज्या है: (A) 2 मात्रक (B) $\pi$ मात्रक (C) 4 मात्रक (D) 7 मात्रक

उत्तर: (A) 2 मात्रक

(हल: $2\pi r = \pi r^2 \Rightarrow 2 = r$)

उत्तर: (D) $\frac{P}{720} \times 2\pi R^2$

(ध्यान दें: मानक सूत्र $\frac{P}{360} \times \pi R^2$ होता है। विकल्प D में ऊपर-नीचे 2 से गुणा किया गया है: $\frac{P}{360 \times 2} \times 2\pi R^2$)

उत्तर: (C) $\frac{154}{3}$ cm²

(हल: कोण $= 30^\circ$। Area $= \frac{30}{360} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 = \frac{1}{12} \times 22 \times 28 = \frac{154}{3}$)

उत्तर: (A) $77/8$ cm²

(हल: $2\pi r = 22 \Rightarrow r = 3.5$ या $7/2$। Area $= \frac{1}{4} \pi r^2 = \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} = \frac{77}{8}$)

उत्तर: (B) $\pi r + 2r$

(अर्धवृत्त का परिमाप = वक्र भाग $\pi r$ + व्यास $2r$)

📘 लघु उत्तरीय प्रश्न (2/3 अंक)

Q6. 6 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसका कोण $60^\circ$ है।

हल:

$r = 6$ cm, $\theta = 60^\circ$ Area $= \frac{\theta}{360} \times \pi r^2$ $= \frac{60}{360} \times \frac{22}{7} \times 6 \times 6$ $= \frac{1}{6} \times \frac{22}{7} \times 36$ $= \frac{132}{7}$ cm² (या $18.86$ cm²)

उत्तर: $132/7$ cm²

हल:

एक वाइपर द्वारा साफ क्षेत्रफल $= \frac{115}{360} \times \pi (25)^2$ दो वाइपरों का कुल क्षेत्रफल $= 2 \times \frac{115}{360} \times \frac{22}{7} \times 625$ काटने पर: $= 2 \times \frac{23}{72} \times \frac{22}{7} \times 625$ $= \frac{158125}{126}$ cm² उत्तर: $\frac{158125}{126}$ cm² (लगभग 1254.96 cm²)

हल:

Area of Segment = (Area of Sector) – (Area of $\triangle AOB$)

Sector $= \frac{90}{360} \times 3.14 \times 10 \times 10 = \frac{1}{4} \times 314 = 78.5$ cm²

$\triangle AOB$ (समकोण त्रिभुज) $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 10 \times 10 = 50$ cm²

Area $= 78.5 – 50 = 28.5$ cm²

उत्तर: 28.5 cm²

 

हल:

(i) तार की लंबाई: परिधि + 5 व्यास $= 2\pi r + 5d = \pi d + 5d$ $= \frac{22}{7} \times 35 + 5 \times 35$ $= 110 + 175 = 285$ mm (ii) त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल: कुल क्षेत्रफल का $1/10$ भाग (क्योंकि 10 भाग हैं)। $= \frac{1}{10} \times \pi r^2 = \frac{1}{10} \times \frac{22}{7} \times \frac{35}{2} \times \frac{35}{2}$ $= \frac{385}{4}$ mm²

उत्तर: 285 mm, 385/4 mm²

हल:

$\angle RPQ = 90^\circ$ (अर्धवृत्त में बना कोण)। पाइथागोरस से व्यास $RQ = \sqrt{24^2 + 7^2} = \sqrt{576+49} = \sqrt{625} = 25$ cm त्रिज्या $r = 25/2$ cm छायांकित क्षेत्रफल = (अर्धवृत्त का क्षे.) – ($\triangle PQR$ का क्षे.) $= [\frac{1}{2} \pi (\frac{25}{2})^2] – [\frac{1}{2} \times 7 \times 24]$ $= [\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times \frac{625}{4}] – 84$ $= \frac{6875}{28} – 84 = \frac{6875 – 2352}{28} = \frac{4523}{28}$ cm²

उत्तर: $\frac{4523}{28}$ cm²

📘 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (5 अंक) (Long Question Answer)

Q11. (Most Important) 15 मीटर भुजा वाले एक वर्गाकार घास के मैदान के एक कोने पर लगे खूंटे से एक घोड़े को 5 मीटर लंबी रस्सी से बांध दिया गया है। ज्ञात कीजिए:(i) मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल जहाँ घोड़ा घास चर सकता है।(ii) चरे जा सकने वाले क्षेत्रफल में वृद्धि, यदि रस्सी 5 मीटर के स्थान पर 10 मीटर कर दी जाए। ($\pi = 3.14$ का प्रयोग करें)

विस्तृत हल:

मैदान का कोना $90^\circ$ का होता है, अतः घोड़ा एक चतुर्थांश (Quadrant) में चरेगा।

(i) 5 मीटर रस्सी के साथ:

$r = 5$ m, $\theta = 90^\circ$

Area $= \frac{1}{4} \pi r^2 = \frac{1}{4} \times 3.14 \times 5 \times 5$

$= \frac{78.5}{4} = 19.625$ m²

(ii) 10 मीटर रस्सी के साथ:

$R = 10$ m

Area $= \frac{1}{4} \times 3.14 \times 10 \times 10$

$= \frac{314}{4} = 78.5$ m²

वृद्धि (Increase):

$= 78.5 – 19.625 = 58.875$ m²

उत्तर: (i) 19.625 m², (ii) 58.875 m²

विस्तृत हल:

डिजाइन एक वृत्तखंड (Segment) के आकार का है।

6 समान डिजाइन हैं, तो केंद्र पर कोण $\theta = 360/6 = 60^\circ$

चूँकि $\theta = 60^\circ$ है, संगत त्रिभुज समबाहु (Equilateral) होगा।

एक डिजाइन का क्षेत्रफल:

= (त्रिज्यखंड का क्षे.) – (समबाहु $\triangle$ का क्षे.)

$= [\frac{60}{360} \times \frac{22}{7} \times 28 \times 28] – [\frac{\sqrt{3}}{4} \times 28 \times 28]$

$= [\frac{1}{6} \times 22 \times 4 \times 28] – [1.7 \times 7 \times 28]$

$= \frac{1232}{3} – 333.2$

$= 410.67 – 333.2 = 77.47$ cm² (approx)

6 डिजाइनों का क्षेत्रफल:

$= 6 \times 77.47 = 464.82$ cm²

लागत:

$= 464.82 \times 0.35 = 162.68$ रुपये (लगभग)

उत्तर: लगभग ₹162.68

विस्तृत हल:

  1. समबाहु $\triangle OAB$ का क्षेत्रफल:

    $= \frac{\sqrt{3}}{4} (\text{भुजा})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 12 \times 12 = 36\sqrt{3}$ cm²

  2. वृत्त का क्षेत्रफल (दीर्घ त्रिज्यखंड):

    त्रिकोण के अंदर का कोण $60^\circ$ है।

    बाहर वाला (reflex) कोण $= 360 – 60 = 300^\circ$

    बाहरी त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $= \frac{300}{360} \times \frac{22}{7} \times 6 \times 6$

    $= \frac{5}{6} \times \frac{22}{7} \times 36$

    $= \frac{5}{1} \times \frac{22}{7} \times 6 = \frac{660}{7}$ cm²

  3. कुल क्षेत्रफल:

    = (त्रिभुज का क्षे.) + (बाहरी त्रिज्यखंड का क्षे.)

    $= (36\sqrt{3} + \frac{660}{7})$ cm²

    (नोट: वृत्त का वो हिस्सा जो त्रिभुज के अंदर है उसे दोबारा नहीं जोड़ना है)

विस्तृत हल:

  1. वर्ग का क्षेत्रफल: $14 \times 14 = 196$ cm²

  2. चतुर्थांशों (Quadrants) का क्षेत्रफल:

    4 कोने हैं, हर कोने पर $90^\circ$ का एक चतुर्थांश है।

    4 चतुर्थांश मिलकर 1 पूरा वृत्त बनाते हैं।

    त्रिज्या $r = 14/2 = 7$ cm

    वृत्त का क्षेत्रफल $= \frac{22}{7} \times 7 \times 7 = 154$ cm²

  3. छायांकित क्षेत्रफल:

    = (वर्ग का क्षे.) – (4 चतुर्थांशों का क्षे.)

    $= 196 – 154 = 42$ cm²

    उत्तर: 42 cm²

विस्तृत हल:

(i) आंतरिक दूरी:

= (2 $\times$ सीधा भाग) + (2 $\times$ आंतरिक अर्धवृत्त की परिधि)

$= (2 \times 106) + (2 \times \pi r)$

यहाँ $2r = 60 \Rightarrow r = 30$ m

$= 212 + 2 \times \frac{22}{7} \times 30$

$= 212 + \frac{1320}{7} = \frac{1484 + 1320}{7} = \frac{2804}{7}$ m

(ii) पथ का क्षेत्रफल:

= (2 $\times$ आयताकार भाग) + (2 $\times$ अर्द्धवृत्ताकार छल्ले)

  • आयताकार भाग $= 106 \times 10 = 1060$ m² (एक पट्टी) $\times 2 = 2120$ m²

  • अर्धवृत्ताकार छल्ला (Ring) $= \frac{1}{2} \pi (R^2 – r^2)$

    $r = 30, R = 30 + 10 = 40$

    $R^2 – r^2 = 40^2 – 30^2 = 1600 – 900 = 700$

    दोनों सिरों का क्षेत्रफल $= 2 \times [\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 700] = 2200$ m²

    कुल क्षेत्रफल $= 2120 + 2200 = 4320$ m²

    उत्तर: $4320$ m²

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