class 10 Math - Very Important Question Anwers
Chapter 10 - वृत्त (Circles)
📘 अति लघु उत्तरीय प्रश्न (1 अंक)
Q1.किसी वृत्त की स्पर्श रेखा (Tangent) उसे कितने बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है? (A) एक (B) दो (C) अनेक (D) शून्य
उत्तर: (A) एक (स्पर्श रेखा वृत्त को केवल एक बिंदु पर छूती है)
Q2. यदि एक बिंदु $P$ से $O$ केंद्र वाले किसी वृत्त पर $PA, PB$ स्पर्श रेखाएँ परस्पर $80^\circ$ के कोण पर झुकी हों, तो $\angle POA$ बराबर है: (A) $50^\circ$ (B) $60^\circ$ (C) $70^\circ$ (D) $80^\circ$
उत्तर: (A) $50^\circ$
(स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $80^\circ$ है, तो केंद्र पर बना कोण $180 – 80 = 100^\circ$ होगा। $\triangle POA$ सर्वांगसम होता है, इसलिए कोण आधा हो जाएगा: $100/2 = 50^\circ$)
Q3. एक बिंदु $Q$ से एक वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई 24 cm तथा $Q$ की केंद्र से दूरी 25 cm है। वृत्त की त्रिज्या है: (A) 7 cm (B) 12 cm (C) 15 cm (D) 24.5 cm
उत्तर: (A) 7 cm
($r = \sqrt{25^2 – 24^2} = \sqrt{625 – 576} = \sqrt{49} = 7$)
Q4.आकृति में, यदि $TP$ और $TQ$ केंद्र $O$ वाले किसी वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार हैं कि $\angle POQ = 110^\circ$, तो $\angle PTQ$ बराबर है: (A) $60^\circ$ (B) $70^\circ$ (C) $80^\circ$ (D) $90^\circ$
उत्तर: (B) $70^\circ$
(चतुर्भुज के चारों कोणों का योग $360^\circ$ होता है। स्पर्श रेखा और त्रिज्या के बीच $90^\circ$ होता है। अतः $\angle PTQ + \angle POQ = 180^\circ \Rightarrow \angle PTQ = 180 – 110 = 70^\circ$)
Q5. दो संकेंद्रीय वृत्तों (Concentric Circles) की त्रिज्याएँ 5 cm और 3 cm हैं। बड़े वृत्त की उस जीवा (Chord) की लंबाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती है। (A) 6 cm (B) 8 cm (C) 10 cm (D) 4 cm
उत्तर: (B) 8 cm
($\text{आधा भाग} = \sqrt{5^2 – 3^2} = 4$। कुल लंबाई $= 4 \times 2 = 8$ cm
📘 लघु उत्तरीय प्रश्न (2/3 अंक)
Q6.सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के व्यास (Diameter) के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समांतर होती हैं।
हल:
माना $AB$ व्यास है और $PQ, RS$ सिरों $A$ और $B$ पर स्पर्श रेखाएँ हैं।
त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है:
$\angle OAP = 90^\circ$ और $\angle OBS = 90^\circ$
चूँकि ये एकांतर अंतः कोण (Alternate Interior Angles) हैं और बराबर हैं,
अतः $PQ || RS$
Q7. एक बिंदु $A$ से, जो एक वृत्त के केंद्र से 5 cm दूरी पर है, वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई 4 cm है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल:
$\triangle OTA$ में (जहाँ $T$ स्पर्श बिंदु है): $\angle OTA = 90^\circ$ (त्रिज्या $\perp$ स्पर्श रेखा) $OA^2 = OT^2 + AT^2$ $(5)^2 = r^2 + (4)^2$ $25 = r^2 + 16$ $r^2 = 9 \Rightarrow r = 3$ cm उत्तर: 3 cm
Q8.सिद्ध कीजिए कि बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं। (सिर्फ $PA=PB$ सिद्ध करना है)
हल:
$\triangle PAO$ और $\triangle PBO$ में:
$OA = OB$ (त्रिज्याएँ)
$OP = OP$ (उभयनिष्ठ)
$\angle PAO = \angle PBO = 90^\circ$
RHS सर्वांगसमता से $\triangle PAO \cong \triangle PBO$
अतः $PA = PB$ (CPCT द्वारा)
Q9. एक चतुर्भुज $ABCD$ एक वृत्त के परिगत (Circumscribing) खींचा गया है। सिद्ध कीजिए कि $AB + CD = AD + BC$ है।
हल: बाह्य बिंदु से स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं: $AP = AS$ $BP = BQ$ $CR = CQ$ $DR = DS$ जोड़ने पर: $(AP+BP) + (CR+DR) = (AS+DS) + (BQ+CQ)$ $AB + CD = AD + BC$ (सिद्ध हुआ)
Q10. दो संकेंद्रीय वृत्तों में, 5 cm त्रिज्या वाले बड़े वृत्त की जीवा, 3 cm त्रिज्या वाले छोटे वृत्त को स्पर्श करती है। जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए। (यह प्रश्न MCQ 5 का विस्तृत रूप है, 2 नंबर में आ सकता है)
हल: पाइथागोरस प्रमेय से: $(\text{जीवा का आधा})^2 = 5^2 – 3^2 = 25 – 9 = 16$ आधा भाग = 4 cm कुल लंबाई = $4 + 4 = 8$ cm।
📘 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (5 अंक) (Long Question Answer)
Q11. (Most Important Theorem) सिद्ध कीजिए कि वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा, स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है। दिया है: केंद्र $O$ वाला वृत्त और स्पर्श रेखा $XY$, जो बिंदु $P$ पर स्पर्श करती है। सिद्ध करना है: $OP \perp XY$ रचना: $XY$ पर $P$ के अतिरिक्त एक बिंदु $Q$ लीजिए और $OQ$ को मिलाइए।
उपपत्ति:
बिंदु $Q$ वृत्त के बाहर स्थित होगा (क्योंकि यदि यह अंदर होता, तो $XY$ छेदक रेखा बन जाती)।
अतः $OQ$ की लंबाई त्रिज्या $OP$ से अधिक होगी।
$OQ > OP$
यह $XY$ पर $P$ के अलावा हर बिंदु के लिए सत्य है।
अतः $OP$, केंद्र $O$ से $XY$ तक की न्यूनतम दूरी (Shortest Distance) है।
हम जानते हैं कि न्यूनतम दूरी ही लंबवत दूरी होती है।
अतः $OP \perp XY$
Q12. सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिंदु से किसी वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण, स्पर्श बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण का संपूरक (Supplementary) होता है। दिया है: बाह्य बिंदु $P$ से दो स्पर्श रेखाएँ $PA$ और $PB$। सिद्ध करना है: $\angle APB + \angle AOB = 180^\circ$
उपपत्ति:
हम जानते हैं त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है।
$\angle OAP = 90^\circ$ और $\angle OBP = 90^\circ$
चतुर्भुज $OAPB$ में चारों कोणों का योग $360^\circ$ होता है।
$\angle AOB + \angle OBP + \angle APB + \angle OAP = 360^\circ$
$\angle AOB + 90^\circ + \angle APB + 90^\circ = 360^\circ$
$\angle AOB + \angle APB + 180^\circ = 360^\circ$
$\angle AOB + \angle APB = 180^\circ$ (सिद्ध हुआ)
Q13. 4 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के परिगत एक त्रिभुज ABC इस प्रकार खींचा गया है कि रेखाखंड BD और DC (जिनमें स्पर्श बिंदु D द्वारा BC विभाजित है) की लंबाइयाँ क्रमशः 8 cm और 6 cm हैं। भुजाएँ AB और AC ज्ञात कीजिए।
विस्तृत हल:
मानना: $AF = AE = x$ cm (बाह्य बिंदु से स्पर्श रेखा)
$BD = BF = 8$ cm
$CD = CE = 6$ cm
भुजाएँ:
$a = BC = 6+8 = 14$
$b = AC = 6+x$
$c = AB = 8+x$
हीरोन का सूत्र (Heron’s Formula):
$s = \frac{14 + (6+x) + (8+x)}{2} = \frac{28+2x}{2} = 14+x$
Area $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$= \sqrt{(14+x)(x)(8)(6)} = \sqrt{48x(14+x)}$
क्षेत्रफल (त्रिभुजों में बांटकर):
Area $\triangle ABC = \text{Ar}(\triangle OBC) + \text{Ar}(\triangle OCA) + \text{Ar}(\triangle OAB)$
$= \frac{1}{2} \times 4 \times 14 + \frac{1}{2} \times 4 \times (6+x) + \frac{1}{2} \times 4 \times (8+x)$
$= 2[14 + 6 + x + 8 + x] = 2[28 + 2x] = 4(14+x)$
तुलना:
$\sqrt{48x(14+x)} = 4(14+x)$
वर्ग करने पर: $48x(14+x) = 16(14+x)^2$
$3x = 14+x$
$2x = 14 \Rightarrow x = 7$
भुजाएँ:
$AB = 8+7 = 15$ cm
$AC = 6+7 = 13$ cm
उत्तर: $AB=15$ cm, $AC=13$ cm
Q14. सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के परिगत समांतर चतुर्भुज (Parallelogram) समचतुर्भुज (Rhombus) होता है।
हल:
दिया है $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है, अतः $AB = CD$ और $BC = AD$।
हम जानते हैं (Q9 से):
$AB + CD = AD + BC$
मान रखने पर:
$AB + AB = AD + AD$ (क्योंकि $AB=CD$)
$2AB = 2AD$
$AB = AD$
चूँकि आसन्न भुजाएँ (Adjacent sides) बराबर हैं, और सम्मुख भुजाएँ पहले से बराबर थीं,
अतः $AB = BC = CD = DA$
अतः ABCD एक समचतुर्भुज है।
Q15. आकृति में $XY$ तथा $X'Y'$, $O$ केंद्र वाले किसी वृत्त पर दो समांतर स्पर्श रेखाएँ हैं और स्पर्श बिंदु $C$ पर स्पर्श रेखा $AB$, $XY$ को $A$ तथा $X'Y'$ को $B$ पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि $\angle AOB = 90^\circ$ है।
विस्तृत हल:
रचना: $O$ को $C$ से मिलाइए।
त्रिभुजों की सर्वांगसमता:
$\triangle OPA$ और $\triangle OCA$ में:
$OP = OC$ (त्रिज्याएँ)
$OA = OA$ (उभयनिष्ठ)
$AP = AC$ (स्पर्श रेखाएँ)
अतः $\triangle OPA \cong \triangle OCA$ (SSS नियम)
इसलिए, $\angle POA = \angle COA$ … (i)
इसी प्रकार, $\triangle OQB \cong \triangle OCB$
इसलिए, $\angle QOB = \angle COB$ … (ii)
सरल रेखा:
$POQ$ एक व्यास (सरल रेखा) है।
$\angle POA + \angle COA + \angle COB + \angle QOB = 180^\circ$
समीकरण (i) और (ii) का मान रखने पर:
$2\angle COA + 2\angle COB = 180^\circ$
$2(\angle COA + \angle COB) = 180^\circ$
$\angle AOB = 90^\circ$ (सिद्ध हुआ)