class 10 Math - Very Important Question Anwers

Chapter 13 - सांख्यिकी (Statistics)

📘 अति लघु उत्तरीय प्रश्न (1 अंक)

Q1.माध्य (Mean), माध्यक (Median) और बहुलक (Mode) के बीच सही संबंध है: (A) $\text{बहुलक} = 2\text{माध्य} - 3\text{माध्यक}$ (B) $\text{बहुलक} = 3\text{माध्यक} - 2\text{माध्य}$ (C) $\text{माध्य} = 3\text{माध्यक} - 2\text{बहुलक}$ (D) $\text{माध्यक} = 3\text{बहुलक} - 2\text{माध्य}$

उत्तर: (B) $\text{बहुलक} = 3\text{माध्यक} – 2\text{माध्य}$

(याद रखें: 3-Median सबसे बड़ा है)

उत्तर: (C) 33

(सूत्र: $3\text{Median} = \text{Mode} + 2\text{Mean} \Rightarrow 3M = 45 + 2(27) \Rightarrow 3M = 45 + 54 = 99 \Rightarrow M = 33$)

उत्तर: (B) 17.5

(सूत्र: $\frac{\text{Upper} + \text{Lower}}{2} = \frac{25+10}{2} = \frac{35}{2} = 17.5$)

उत्तर: (C) माध्यक

उत्तर: (C) बारंबारता अधिकतम हो

📘 लघु उत्तरीय प्रश्न (2/3 अंक)

Q6. निम्नलिखित आंकड़ों का माध्य (Mean) ज्ञात कीजिए: | वर्ग अंतराल | 0-10 | 10-20 | 20-30 | 30-40 | 40-50 | | :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | बारंबारता | 3 | 10 | 11 | 9 | 7 |

हल:

| वर्ग | $f_i$ | $x_i$ (मध्य मान) | $f_i x_i$ |

|—|—|—|—|

| 0-10 | 3 | 5 | 15 |

| 10-20 | 10 | 15 | 150 |

| 20-30 | 11 | 25 | 275 |

| 30-40 | 9 | 35 | 315 |

| 40-50 | 7 | 45 | 315 |

| योग | $\Sigma f_i = 40$ | | $\Sigma f_i x_i = 1070$ |

$\text{Mean} (\bar{x}) = \frac{\Sigma f_i x_i}{\Sigma f_i} = \frac{1070}{40} = 26.75$

उत्तर: 26.75

हल:

अधिकतम बारंबारता = 61

अतः बहुलक वर्ग = 60-80

$l = 60, h = 20$

$f_1 = 61$ (बहुलक वर्ग की freq)

$f_0 = 52$ (पहले की freq)

$f_2 = 38$ (बाद की freq)

सूत्र: $\text{Mode} = l + (\frac{f_1 – f_0}{2f_1 – f_0 – f_2}) \times h$

$= 60 + (\frac{61 – 52}{2(61) – 52 – 38}) \times 20$

$= 60 + (\frac{9}{122 – 90}) \times 20$

$= 60 + (\frac{9}{32}) \times 20$

$= 60 + \frac{180}{32} = 60 + 5.625 = 65.625$

उत्तर: 65.625

हल: संख्या 2 सबसे अधिक बार (3 बार) आई है। उत्तर: बहुलक = 2

हल:

  1. बहुलक वर्ग: सबसे बड़ी freq 20 है $\rightarrow$ वर्ग 30-40। (निम्न सीमा = 30)

  2. माध्यक वर्ग:

    $\Sigma f = 66 \Rightarrow N/2 = 33$

    संचयी बारंबारता (cf): 10, 25, 37, …

    33, cf 37 में आएगा $\rightarrow$ वर्ग 20-30। (निम्न सीमा = 20)

  3. योग: $30 + 20 = 50$

    उत्तर: 50

📘 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (5 अंक) (Long Question Answer)

Q10. (Most Important) यदि नीचे दिए गए बंटन का माध्यक (Median) 28.5 हो, तो $x$ और $y$ के मान ज्ञात कीजिए। (कुल बारंबारता 60 है)

विस्तृत हल:

  1. संचयी बारंबारता (cf) सारणी:

    • 0-10 : 5

    • 10-20 : $5+x$

    • 20-30 : $25+x$

    • 30-40 : $40+x$

    • 40-50 : $40+x+y$

    • 50-60 : $45+x+y$

  2. पहला समीकरण:

    कुल योग $N = 60$ दिया है।

    $45 + x + y = 60$

    $x + y = 15$ …(i)

  3. माध्यक वर्ग:

    माध्यक = 28.5 (दिया है)।

    यह मान 20-30 के बीच आता है, अतः माध्यक वर्ग 20-30 है।

    $l = 20, h = 10, f = 20, cf = 5+x$ (वर्ग से ठीक पहले वाला)

  4. सूत्र:

    $\text{Median} = l + (\frac{\frac{N}{2} – cf}{f}) \times h$

    $28.5 = 20 + (\frac{30 – (5+x)}{20}) \times 10$

    $8.5 = \frac{25 – x}{2}$

    $17 = 25 – x$

    $x = 25 – 17 = 8$

  5. y का मान:

    समीकरण (i) में $x=8$ रखने पर: $8 + y = 15 \Rightarrow y = 7$ उत्तर: $x = 8, y = 7$

जेब खर्च11-1313-1515-1717-1919-2121-2323-25
बच्चे ($f_i$)76913$f$54

Answer (विस्तृत हल):

हम $x_i$ (मध्य मान) निकालते हैं: 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24

माध्य ($\bar{x}$) = 18 दिया है।

कल्पित माध्य विधि (Assumed Mean) या प्रत्यक्ष विधि से:

$\Sigma f_i = 44 + f$

$\Sigma f_i x_i = (7\times12) + (6\times14) + (9\times16) + (13\times18) + (f\times20) + (5\times22) + (4\times24)$

$= 84 + 84 + 144 + 234 + 20f + 110 + 96$

$= 752 + 20f$

सूत्र: $\bar{x} = \frac{\Sigma f_i x_i}{\Sigma f_i}$

$18 = \frac{752 + 20f}{44 + f}$

$18(44 + f) = 752 + 20f$

$792 + 18f = 752 + 20f$

$792 – 752 = 20f – 18f$

$40 = 2f$

$f = 20$

उत्तर: $f = 20$

आयु (वर्षों में)20 से कम25 से कम30 से कम35 से कम40 से कम45 से कम50 से कम55 से कम60 से कम
पॉलिसी धारक26244578899298100

 

Answer (विस्तृत हल):

यह ‘से कम’ (Less than) प्रकार का डेटा है। इसे सामान्य वर्ग अंतराल में बदलना होगा।

वर्ग अंतरालबारंबारता (f)संचयी बारंबारता (cf)
15-2022
20-25$6-2 = 4$6
25-30$24-6 = 18$24
30-35$45-24 = 21$45
35-40$78-45 = 33$78
40-45$89-78 = 11$89
45-50$92-89 = 3$92
50-55$98-92 = 6$98
55-60$100-98 = 2$100

  • $N = 100 \Rightarrow N/2 = 50$

  • 50 वां मान $cf$ 78 के अंतर्गत आता है।

  • माध्यक वर्ग = 35-40

  • $l = 35, h = 5, f = 33, cf = 45$

$\text{Median} = 35 + (\frac{50 – 45}{33}) \times 5$

$= 35 + (\frac{5}{33}) \times 5$

$= 35 + \frac{25}{33}$

$= 35 + 0.76 = 35.76$

उत्तर: माध्यक आयु 35.76 वर्ष है।

विस्तृत हल:

मानें $a = 225$ (मध्य मान), $h = 50$

वर्गxi​fi​ui​=50xi​−225​fi​ui​
100-1501254-2-8
150-2001755-1-5
200-2502251200
250-300275212
300-350325224
योग 25 -7

$\bar{x} = a + (\frac{\Sigma f_i u_i}{\Sigma f_i}) \times h$

$= 225 + (\frac{-7}{25}) \times 50$

$= 225 + (-7 \times 2)$

$= 225 – 14 = 211$

उत्तर: माध्य 211 है।

हल संकेत:

  • माध्यक: $N=280, N/2=140$। $cf$ निकालें। माध्यक वर्ग 10-15 आएगा।

  • बहुलक: सबसे बड़ी freq 133 है। बहुलक वर्ग भी 10-15 है।

  • दोनों की गणना सूत्रों से करें।

💡 टिप: सांख्यिकी में गणना की गलती (Calculation Mistake) सबसे आम है। उत्तर को अंत में दोबारा चेक जरूर करें।

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