class 10 Math - Very Important Question Anwers
Chapter 12 - पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (Surface Areas and Volumes)
📘 अति लघु उत्तरीय प्रश्न (1 अंक)
Q1. दो घनों, जिनमें से प्रत्येक का आयतन $64$ cm³ है, के संलग्न फलकों को मिलाकर एक ठोस बनाया जाता है। इससे प्राप्त घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा: (A) 160 cm² (B) 150 cm² (C) 180 cm² (D) 120 cm²
उत्तर: (A) 160 cm²
(हल: $a^3=64 \Rightarrow a=4$। घनाभ की लंबाई $L=4+4=8$, $B=4$, $H=4$। TSA $= 2(32+16+32) = 160$)
Q2. एक ठोस अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (Total Surface Area) होता है:(A) $2\pi r^2$(B) $3\pi r^2$(C) $4\pi r^2$(D) $\pi r^2$
उत्तर: (B) $3\pi r^2$
(वक्र पृष्ठ $2\pi r^2$ + आधार का वृत्त $\pi r^2$)
Q3. यदि एक गोले की त्रिज्या को दोगुना कर दिया जाए, तो उसका आयतन कितने गुना हो जाएगा? (A) 2 गुना (B) 4 गुना (C) 6 गुना (D) 8 गुना
उत्तर: (D) 8 गुना (आयतन $\propto r^3$. यदि $r \to 2r$, तो $(2)^3 = 8$ गुना)
Q4.एक बेलन और एक शंकु की त्रिज्याएँ और ऊँचाइयाँ समान हैं। उनके आयतनों का अनुपात क्या होगा? (A) 1:3 (B) 3:1 (C) 1:2 (D) 2:1
उत्तर: (B) 3:1
(बेलन $\pi r^2 h$ : शंकु $\frac{1}{3} \pi r^2 h \Rightarrow 1 : 1/3 \Rightarrow 3:1$)
Q5. 1 cm त्रिज्या और 2 cm ऊँचाई वाले लम्ब वृत्तीय बेलन का आयतन क्या होगा?(A) $2\pi$ cm³(B) $\pi$ cm³(C) $4\pi$ cm³(D) $3\pi$ cm³
उत्तर: (A) $2\pi$ cm³ ($V = \pi r^2 h = \pi (1)^2 (2) = 2\pi$)
📘 लघु उत्तरीय प्रश्न (2/3 अंक)
Q6. एक खिलौना 3.5 cm त्रिज्या वाले एक अर्धगोले पर अध्यारोपित उसी त्रिज्या वाले एक शंकु के आकार का है। खिलौने की कुल ऊँचाई 15.5 cm है। खिलौने का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए|
हल:
त्रिज्या $r = 3.5$ cm
शंकु की ऊँचाई $h = 15.5 – 3.5 = 12$ cm
तिर्यक ऊँचाई $l = \sqrt{12^2 + 3.5^2} = \sqrt{144 + 12.25} = \sqrt{156.25} = 12.5$ cm
TSA = शंकु का CSA + अर्धगोले का CSA
$= \pi rl + 2\pi r^2 = \pi r(l + 2r)$
$= \frac{22}{7} \times 3.5 (12.5 + 7)$
$= 11 \times 19.5 = 214.5$ cm²
उत्तर: 214.5 cm²
Q7. भुजा 7 cm वाले एक घनाकार ब्लॉक के ऊपर एक अर्धगोला रखा हुआ है। अर्धगोले का अधिकतम व्यास क्या हो सकता है? इस प्रकार बने ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
अधिकतम व्यास = घन की भुजा = 7 cm त्रिज्या $r = 7/2 = 3.5$ cm ठोस का TSA = (घन का TSA) + (अर्धगोले का CSA) – (अर्धगोले के आधार का क्षेत्रफल) $= 6a^2 + 2\pi r^2 – \pi r^2 = 6a^2 + \pi r^2$ $= 6(7)^2 + \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5$ $= 294 + 38.5 = 332.5$ cm² उत्तर: 332.5 cm²
Q8.क्रमशः 6 cm, 8 cm और 10 cm त्रिज्याओं वाले धातु के तीन ठोस गोलों को पिघलाकर एक बड़ा ठोस गोला बनाया जाता है। इस गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल:
$\frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (r_1^3 + r_2^3 + r_3^3)$ $R^3 = 6^3 + 8^3 + 10^3$ $R^3 = 216 + 512 + 1000$ $R^3 = 1728$ $R = \sqrt[3]{1728} = 12$ cm उत्तर: 12 cm
Q9. एक शंकु के आधार की त्रिज्या 4 cm और ऊँचाई 3 cm है। इसे पिघलाकर 2 cm त्रिज्या वाले एक गोले के रूप में ढाला गया है। क्या यह संभव है? (आयतन तुलना करें)
हल:
शंकु का आयतन $= \frac{1}{3}\pi (4)^2 (3) = 16\pi$ गोले का आयतन $= \frac{4}{3}\pi (2)^3 = \frac{32}{3}\pi = 10.66\pi$ चूँकि दोनों आयतन बराबर नहीं हैं, इसलिए पूरी सामग्री का उपयोग करके यह गोला नहीं बनाया गया, या सामग्री बची रह गई। (यह प्रश्न रूपांतरण की जाँच के लिए है)।
📘 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (5 अंक) (Long Question Answer)
Q10. एक गुलाबजामुन में उसके आयतन की लगभग 30% चीनी की चाशनी होती है। 45 गुलाबजामुनों में लगभग कितनी चाशनी होगी, यदि प्रत्येक गुलाबजामुन एक बेलन के आकार का है, जिसके दोनों सिरों पर अर्धगोले हैं तथा इसकी लंबाई 5 cm और व्यास 2.8 cm है।
विस्तृत हल:
विमाएँ (Dimensions):
व्यास = 2.8 cm $\Rightarrow$ त्रिज्या $r = 1.4$ cm
कुल लंबाई = 5 cm
बेलनाकार भाग की लंबाई ($h$) = $5 – (1.4 + 1.4) = 5 – 2.8 = 2.2$ cm
एक गुलाबजामुन का आयतन:
= (बेलन का आयतन) + 2 $\times$ (अर्धगोले का आयतन)
$= \pi r^2 h + 2 \times \frac{2}{3} \pi r^3$
$= \pi r^2 (h + \frac{4}{3}r)$
$= \frac{22}{7} \times 1.4 \times 1.4 (2.2 + \frac{4}{3} \times 1.4)$
$= 6.16 (2.2 + 1.866) = 6.16 \times 4.066 \approx 25.05$ cm³
45 गुलाबजामुनों का आयतन:
$= 45 \times 25.05 = 1127.25$ cm³
चाशनी की मात्रा (30%):
$= 1127.25 \times \frac{30}{100} = 338.17$ cm³
उत्तर: लगभग 338 cm³ चाशनी होगी।
Q11. एक बर्तन एक उल्टे शंकु के आकार का है। इसकी ऊँचाई 8 cm है और इसके ऊपरी सिरे (जो खुला हुआ है) की त्रिज्या 5 cm है। यह ऊपर तक पानी से भरा हुआ है। जब इस बर्तन में सीसे की कुछ गोलियाँ (जिनमें प्रत्येक 0.5 cm त्रिज्या वाला एक गोला है) डाली जाती हैं, तो इसमें से भरे हुए पानी का एक चौथाई (1/4) भाग बाहर निकल जाता है। बर्तन में डाली गई गोलियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
विस्तृत हल:
शंकु का आयतन (पानी का कुल आयतन):
$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi (5)^2 (8) = \frac{200}{3} \pi$ cm³
बाहर निकले पानी का आयतन:
$= \frac{1}{4} \times \text{शंकु का आयतन}$
$= \frac{1}{4} \times \frac{200}{3} \pi = \frac{50}{3} \pi$ cm³
एक गोली का आयतन:
$r = 0.5 = 1/2$ cm
$v = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (\frac{1}{2})^3 = \frac{4}{3} \pi (\frac{1}{8}) = \frac{1}{6} \pi$ cm³
गोलियों की संख्या ($n$):
$n \times (\text{एक गोली का आयतन}) = \text{निकले पानी का आयतन}$
$n \times \frac{\pi}{6} = \frac{50\pi}{3}$
$n = \frac{50 \times 6}{3} = 50 \times 2 = 100$
उत्तर: 100 गोलियाँ।
Q12. एक इंजीनियरिंग के विद्यार्थी रचेल से एक पतली एल्युमीनियम की शीट का प्रयोग करते हुए एक मॉडल बनाने को कहा गया जो एक ऐसे बेलन के आकार का हो जिसके दोनों सिरों पर दो शंकु जुड़े हुए हों। इस मॉडल का व्यास 3 cm है और इसकी लंबाई 12 cm है। यदि प्रत्येक शंकु की ऊँचाई 2 cm हो, तो रचेल द्वारा बनाए गए मॉडल में अंतर्विष्ट हवा का आयतन ज्ञात कीजिए।
विस्तृत हल:
विमाएँ:
व्यास = 3 cm $\Rightarrow r = 1.5$ cm
कुल लंबाई = 12 cm
शंकु की ऊँचाई ($h_{cone}$) = 2 cm
बेलन की ऊँचाई ($h_{cyl}$) = $12 – (2 + 2) = 12 – 4 = 8$ cm
कुल आयतन:
= (बेलन का आयतन) + 2 $\times$ (शंकु का आयतन)
$= \pi r^2 h_{cyl} + 2 \times \frac{1}{3} \pi r^2 h_{cone}$
$= \pi r^2 (h_{cyl} + \frac{2}{3} h_{cone})$
$= \frac{22}{7} \times 1.5 \times 1.5 (8 + \frac{2}{3} \times 2)$
$= \frac{22}{7} \times 2.25 (8 + \frac{4}{3})$
$= \frac{22}{7} \times 2.25 (\frac{28}{3})$
$= 22 \times 0.75 \times 4$
$= 66$ cm³
उत्तर: 66 cm³
Q13. व्यास 7 मीटर वाला 20 मीटर गहरा एक कुआँ खोदा जाता है और खोदने से निकली हुई मिट्टी को समान रूप से फैलाकर 22 m $\times$ 14 m वाला एक चबूतरा (Platform) बनाया गया है। इस चबूतरे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
विस्तृत हल:
कुएँ (बेलन) की मिट्टी का आयतन:
$r = 7/2 = 3.5$ m, $h = 20$ m
$V_1 = \pi r^2 h = \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 \times 20$
$= 22 \times 0.5 \times 3.5 \times 20$
$= 11 \times 70 = 770$ m³
चबूतरे (घनाभ) का आयतन:1
$L = 22, B = 14, H = ?$
$V_2 = L \times B \times H = 22 \times 14 \times H$
तुलना:2
मिट्टी का आयतन समान रहेगा।3
$22 \times 14 \times H = 770$
$H = \frac{770}{22 \times 14}$
$H = \frac{35}{14} = 2.5$ m4
उत्तर: चबूतरे की ऊँचाई 52.5 मीटर है।
Q14. 6 मीटर चौड़ी और 1.5 मीटर गहरी एक नहर में पानी 10 km/h की चाल से बह रहा है। 30 मिनट में, यह नहर कितने क्षेत्रफल की सिंचाई कर पाएगी, जबकि सिंचाई के लिए 8 cm गहरे पानी की आवश्यकता होती है?
विस्तृत हल:
30 मिनट में बहे पानी का आयतन:
नहर की चौड़ाई ($b$) = 6 m, गहराई ($h$) = 1.5 m
चाल = 10 km/h = 10,000 m/h
30 मिनट (0.5 घंटे) में लंबाई ($l$) = $10,000 \times 0.5 = 5000$ m
पानी का आयतन ($V$) = $l \times b \times h = 5000 \times 6 \times 1.5 = 45,000$ m³
सिंचाई का क्षेत्रफल:
खेत में पानी की गहराई = 8 cm = $0.08$ m
माना क्षेत्रफल $A$ है।
$A \times \text{गहराई} = \text{पानी का आयतन}$
$A \times 0.08 = 45,000$
$A = \frac{45000}{0.08} = \frac{4500000}{8}$
$A = 5,62,500$ m²
उत्तर: 5,62,500 m² (या 56.25 हेक्टेयर)।
Q15. एक ठोस लोहे के खंभे में, ऊँचाई 220 cm और आधार व्यास 24 cm वाला एक बेलन है, जिसके ऊपर ऊँचाई 60 cm और त्रिज्या 8 cm वाला एक अन्य बेलन आरोपित है। इस खंभे का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, जबकि 1 cm³ लोहे का द्रव्यमान लगभग 8g है। ($\pi = 3.14$ लें)
विस्तृत हल:
बड़े बेलन का आयतन ($V_1$):
$R = 12$ cm, $H = 220$ cm
$V_1 = \pi (12)^2 (220) = 3.14 \times 144 \times 220 = 99475.2$ cm³
छोटे बेलन का आयतन ($V_2$):
$r = 8$ cm, $h = 60$ cm
$V_2 = \pi (8)^2 (60) = 3.14 \times 64 \times 60 = 12057.6$ cm³
कुल आयतन:
$V = 99475.2 + 12057.6 = 111532.8$ cm³
द्रव्यमान:
$= 111532.8 \times 8$ ग्राम
$= 892262.4$ ग्राम
$= 892.26$ किलोग्राम
उत्तर: 892.26 kg
Q16. दवा का एक कैप्सूल एक बेलन के आकार का है जिसके दोनों सिरों पर एक-एक अर्धगोला लगा हुआ है। पूरे कैप्सूल की लंबाई 14 mm है और उसका व्यास 5 mm है। इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
$r = 2.5$ mm बेलन की ऊँचाई $h = 14 – (2.5+2.5) = 9$ mm Area $= 2\pi r h + 2(2\pi r^2)$ $= 2\pi r (h + 2r)$ $= 2 \times \frac{22}{7} \times 2.5 (9 + 5)$ $= \frac{110}{7} \times 14 = 220$ mm² उत्तर: 220 mm²