class 10 Math - Very Important Question Anwers
Chapter 7 - निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry)
📘 अति लघु उत्तरीय प्रश्न (1 अंक)
Q1.बिंदु $P(3, 4)$ की मूल बिंदु (Origin) से दूरी है: (A) 3 मात्रक (B) 4 मात्रक (C) 5 मात्रक (D) 7 मात्रक
उत्तर: (C) 5 मात्रक (सूत्र: $\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$)
Q2.बिंदुओं $A(-2, 8)$ और $B(-6, -4)$ को मिलाने वाले रेखाखंड के मध्य-बिंदु (Mid-point) के निर्देशांक हैं: (A) $(-4, 2)$ (B) $(4, 2)$ (C) $(-4, -2)$ (D) $(4, -2)$
उत्तर: (A) $(-4, 2)$ (सूत्र: $\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} \Rightarrow \frac{-2-6}{2}, \frac{8-4}{2} \Rightarrow \frac{-8}{2}, \frac{4}{2} \Rightarrow (-4, 2)$)
Q3. यदि बिंदुओं $P(4, 0)$ और $Q(0, x)$ के बीच की दूरी 5 मात्रक है, तो $x$ का मान है:(A) 2(B) 3(C) 4(D) 5
उत्तर: (B) 3 (हल: $\sqrt{(0-4)^2 + (x-0)^2} = 5 \Rightarrow 16 + x^2 = 25 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$. विकल्प में 3 है)
Q4.X-अक्ष पर स्थित वह बिंदु जो $A(-1, 0)$ और $B(5, 0)$ से समदूरस्थ (Equidistant) है: (A) $(2, 0)$ (B) $(0, 2)$ (C) $(3, 0)$ (D) $(2, 2)$
उत्तर: (A) $(2, 0)$ (मध्य बिंदु होगा क्योंकि दोनों X-अक्ष पर हैं: $\frac{-1+5}{2} = \frac{4}{2} = 2$)
Q5. बिंदु $(-3, 5)$ किस चतुर्थांश (Quadrant) में स्थित है? (A) प्रथम (B) द्वितीय (C) तृतीय (D) चतुर्थ
उत्तर: (B) द्वितीय ($x$ ऋणात्मक और $y$ धनात्मक द्वितीय चतुर्थांश में होते हैं)
📘 लघु उत्तरीय प्रश्न (2/3 अंक)
Q6. $y$ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए बिंदु $P(2, -3)$ और $Q(10, y)$ के बीच की दूरी 10 मात्रक है।
हल:
दूरी $PQ = 10$ $\sqrt{(10-2)^2 + (y – (-3))^2} = 10$ दोनों तरफ वर्ग (Square) करने पर: $(8)^2 + (y+3)^2 = 100$ $64 + (y+3)^2 = 100$ $(y+3)^2 = 100 – 64 = 36$ $y+3 = \pm 6$ स्थिति 1: $y+3 = 6 \Rightarrow y = 3$ स्थिति 2: $y+3 = -6 \Rightarrow y = -9$ उत्तर: $y = 3$ या $y = -9$
Q7. उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिंदुओं $(4, -3)$ और $(8, 5)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को आंतरिक रूप से $3:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
हल:
सूत्र: $x = \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1+m_2}, y = \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1+m_2}$
$x = \frac{3(8) + 1(4)}{3+1} = \frac{24+4}{4} = \frac{28}{4} = 7$
$y = \frac{3(5) + 1(-3)}{3+1} = \frac{15-3}{4} = \frac{12}{4} = 3$
उत्तर: $(7, 3)$
Q8.X-अक्ष पर वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो $(2, -5)$ और $(-2, 9)$ से समदूरस्थ है।
हल:
माना X-अक्ष पर बिंदु $P(x, 0)$ है। $PA = PB \Rightarrow PA^2 = PB^2$ $(x-2)^2 + (0-(-5))^2 = (x-(-2))^2 + (0-9)^2$ $(x-2)^2 + 25 = (x+2)^2 + 81$ $x^2 – 4x + 4 + 25 = x^2 + 4x + 4 + 81$ $-4x + 29 = 4x + 85$ $-8x = 56$ $x = -7$ उत्तर: बिंदु $(-7, 0)$ है।
Q9. यदि बिंदु $A(6, 1), B(8, 2), C(9, 4)$ और $D(p, 3)$ एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष इसी क्रम में हों, तो $p$ का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित (Bisect) करते हैं। अतः AC का मध्य-बिंदु = BD का मध्य-बिंदु AC का मध्य-बिंदु: $(\frac{6+9}{2}, \frac{1+4}{2}) = (\frac{15}{2}, \frac{5}{2})$ BD का मध्य-बिंदु: $(\frac{8+p}{2}, \frac{2+3}{2}) = (\frac{8+p}{2}, \frac{5}{2})$ तुलना करने पर: $\frac{15}{2} = \frac{8+p}{2}$ $15 = 8 + p \Rightarrow p = 7$ उत्तर: $p = 7$
Q10. जाँच कीजिए कि क्या $(5, -2), (6, 4)$ और $(7, -2)$ एक समद्विबाहु त्रिभुज (Isosceles Triangle) के शीर्ष हैं।
हल:
$AB = \sqrt{(6-5)^2 + (4-(-2))^2} = \sqrt{1^2 + 6^2} = \sqrt{37}$ $BC = \sqrt{(7-6)^2 + (-2-4)^2} = \sqrt{1^2 + (-6)^2} = \sqrt{37}$ $AC = \sqrt{(7-5)^2 + (-2-(-2))^2} = \sqrt{2^2 + 0} = 2$ चूँकि $AB = BC = \sqrt{37}$ है, अतः यह समद्विबाहु त्रिभुज है। उत्तर: हाँ।
📘 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (5 अंक) (Long Question Answer)
Q11.बिंदुओं $A(2, -2)$ और $B(-7, 4)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को समत्रिभाजित (Trisect) करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
विस्तृत हल:
समत्रिभाजित का मतलब है रेखा को तीन बराबर भागों में बांटना। इसके लिए दो बिंदुओं ($P$ और $Q$) की आवश्यकता होगी।
$A(2, -2)$ ————– $P$ ————– $Q$ ————– $B(-7, 4)$
बिंदु P के लिए:
$P$, $AB$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करेगा।
$x = \frac{1(-7) + 2(2)}{1+2} = \frac{-7+4}{3} = \frac{-3}{3} = -1$
$y = \frac{1(4) + 2(-2)}{1+2} = \frac{4-4}{3} = 0$
अतः $P(-1, 0)$
बिंदु Q के लिए:
$Q$, $AB$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करेगा (या $Q$, $PB$ का मध्य बिंदु है)।
$x = \frac{2(-7) + 1(2)}{2+1} = \frac{-14+2}{3} = \frac{-12}{3} = -4$
$y = \frac{2(4) + 1(-2)}{2+1} = \frac{8-2}{3} = \frac{6}{3} = 2$
अतः $Q(-4, 2)$
उत्तर: $(-1, 0)$ और $(-4, 2)$।
Q12.वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें रेखा $2x + y - 4 = 0$, बिंदुओं $A(2, -2)$ और $B(3, 7)$ को मिलाने वाले रेखाखंड को विभाजित करती है।
विस्तृत हल:
माना: अनुपात $k:1$ है।
विभाजन बिंदु के निर्देशांक:
$x = \frac{k(3) + 1(2)}{k+1} = \frac{3k+2}{k+1}$
$y = \frac{k(7) + 1(-2)}{k+1} = \frac{7k-2}{k+1}$
समीकरण में मान रखना:
चूँकि यह बिंदु रेखा $2x + y – 4 = 0$ पर स्थित है, इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगा।
$2\left(\frac{3k+2}{k+1}\right) + \left(\frac{7k-2}{k+1}\right) – 4 = 0$
हल:
$\frac{6k+4 + 7k-2 – 4(k+1)}{k+1} = 0$
$13k + 2 – 4k – 4 = 0$
$9k – 2 = 0$
$9k = 2 \Rightarrow k = 2/9$
उत्तर: अनुपात 2:9 है।
Q13.(Case Study): एक कक्षा में, 4 मित्र बिंदुओं A, B, C और D पर बैठे हैं जैसा कि चित्र में दर्शाया गया है (निर्देशांक नीचे दिए गए हैं)। चंपा और चमेली कक्षा के अंदर आती हैं और कुछ मिनट तक देखने के बाद, चंपा चमेली से पूछती है, "क्या तुम्हें नहीं लगता कि ABCD एक वर्ग (Square) है?" चमेली इससे सहमत नहीं है। दूरी सूत्र का प्रयोग करके बताइए कि कौन सही है। निर्देशांक: $A(3, 4), B(6, 7), C(9, 4), D(6, 1)$
विस्तृत हल:
भुजाओं की दूरी:
$AB = \sqrt{(6-3)^2 + (7-4)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
$BC = \sqrt{(9-6)^2 + (4-7)^2} = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
$CD = \sqrt{(6-9)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
$DA = \sqrt{(3-6)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
(सभी भुजाएँ बराबर हैं: $AB=BC=CD=DA$)
विकर्णों की दूरी (जरूरी है ताकि समचतुर्भुज से अंतर पता चले):
$AC = \sqrt{(9-3)^2 + (4-4)^2} = \sqrt{6^2} = 6$
$BD = \sqrt{(6-6)^2 + (1-7)^2} = \sqrt{(-6)^2} = 6$
(विकर्ण भी बराबर हैं: $AC=BD$)
निष्कर्ष: चूँकि सभी भुजाएँ बराबर हैं और विकर्ण भी बराबर हैं, अतः ABCD एक वर्ग है।
उत्तर: चंपा सही है।
Q14. $x$ और $y$ में एक ऐसा संबंध ज्ञात कीजिए कि बिंदु $(x, y)$ बिंदुओं $(3, 6)$ और $(-3, 4)$ से समदूरस्थ हो।
विस्तृत हल:
माना $P(x, y)$, $A(3, 6)$ और $B(-3, 4)$ से समदूरस्थ है। $PA^2 = PB^2$ $(x-3)^2 + (y-6)^2 = (x-(-3))^2 + (y-4)^2$ $(x-3)^2 + (y-6)^2 = (x+3)^2 + (y-4)^2$ $x^2 – 6x + 9 + y^2 – 12y + 36 = x^2 + 6x + 9 + y^2 – 8y + 16$ ($x^2, y^2, 9$ दोनों तरफ से कट गए) $-6x – 12y + 36 = 6x – 8y + 16$ $-6x – 6x – 12y + 8y + 36 – 16 = 0$ $-12x – 4y + 20 = 0$ -4 से भाग देने पर: $3x + y – 5 = 0$ उत्तर: सही संबंध $3x + y – 5 = 0$ है।
Q15. बिंदुओं $A(3, 0), B(4, 5), C(-1, 4)$ और $D(-2, -1)$ को क्रम से लेने पर बनने वाले समचतुर्भुज (Rhombus) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।(नोट: समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = $1/2 \times \text{विकर्ण}_1 \times \text{विकर्ण}_2$)
विस्तृत हल:
विकर्ण AC की लंबाई:
$AC = \sqrt{(-1-3)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
विकर्ण BD की लंबाई:
$BD = \sqrt{(-2-4)^2 + (-1-5)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-6)^2} = \sqrt{36+36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$
क्षेत्रफल:
Area $= \frac{1}{2} \times AC \times BD$
Area $= \frac{1}{2} \times 4\sqrt{2} \times 6\sqrt{2}$
Area $= \frac{1}{2} \times 24 \times 2$ ($\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$)
Area $= 24$ वर्ग मात्रक।
उत्तर: 24 वर्ग मात्रक।