class 10 Math - Very Important Question Anwers

Chapter 3 - दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म (Pair of Linear Equations in Two Variables)

📘 अति लघु उत्तरीय प्रश्न (1 अंक)

Q1.यदि समीकरण $2x^2 + kx + 3 = 0$ के मूल बराबर हों, तो $k$ का मान होगा: (A) $\pm 6$ (B) $\pm 4$ (C) $\pm 2\sqrt{6}$ (D) $\pm \sqrt{6}$

उत्तर: (C) $\pm 2\sqrt{6}$

(हल: $D = b^2 – 4ac = 0 \Rightarrow k^2 – 4(2)(3) = 0 \Rightarrow k^2 = 24 \Rightarrow k = \pm\sqrt{24} = \pm 2\sqrt{6}$)

 

उत्तर:

(B) $x(x + 1) + 8 = (x + 2)(x – 2)$ (हल करने पर $x^2 + x + 8 = x^2 – 4$, यहाँ $x^2$ कट जाता है, इसलिए यह रैखिक समीकरण है)

उत्तर:

(C) कोई वास्तविक मूल नहीं है ($D = (-\sqrt{5})^2 – 4(2)(1) = 5 – 8 = -3$. चूँकि $D < 0$, अतः कोई मूल नहीं)

उत्तर:

(A) 1/2 ($3^2 – 2k(3) – 6 = 0 \Rightarrow 9 – 6k – 6 = 0 \Rightarrow 3 = 6k \Rightarrow k = 3/6$)

उत्तर: (A) 12 ($D = (-6)^2 – 4(3)(2) = 36 – 24 = 12$)

उत्तर: (C) वास्तविक नहीं (क्योंकि $x^2 = -1$ संभव नहीं है)

उत्तर: (D) 0, 8

(संकेत: $b^2 – 4ac = 0 \Rightarrow (-k)^2 – 4(2)(k) = 0 \Rightarrow k^2 – 8k = 0 \Rightarrow k(k-8)=0$)

📘 लघु उत्तरीय प्रश्न (2 अंक)

Q8. द्विघात सूत्र का प्रयोग करके समीकरण $2x^2 - 7x + 3 = 0$ के मूल ज्ञात कीजिए।

हल:

$a=2, b=-7, c=3$

$D = b^2 – 4ac = (-7)^2 – 4(2)(3) = 49 – 24 = 25$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm 5}{4}$

$x = \frac{12}{4} = 3$ और $x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

उत्तर: $3, 1/2$

Q6. $p$ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए समीकरण $px(x-2) + 6 = 0$ के मूल बराबर हों।

हल:

$px^2 – 2px + 6 = 0$

मूल बराबर $\Rightarrow D = 0$

$(-2p)^2 – 4(p)(6) = 0$

$4p^2 – 24p = 0 \Rightarrow 4p(p-6) = 0$

$p=0$ (अमान्य) या $p=6$

उत्तर: $p=6$

हल:

$px^2 – 2px + 6 = 0$

मूल बराबर $\Rightarrow D = 0$

$(-2p)^2 – 4(p)(6) = 0$

$4p^2 – 24p = 0 \Rightarrow 4p(p-6) = 0$

$p=0$ (अमान्य) या $p=6$

उत्तर: $p=6$

📘 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (3 अंक) (Long Question Answer)

Q10. ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 27 हो और गुणनफल 182 हो।

  1. विस्तृत हल:

    1. माना: पहली संख्या $= x$

    2. तो दूसरी संख्या $= 27 – x$ (क्योंकि योग 27 है)

    3. प्रश्नानुसार:

      इनका गुणनफल 182 है।

       

      $$x(27 – x) = 182$$
      $$27x – x^2 = 182$$

    4. पक्षांतरण (Rearranging):

      $x^2$ को धनात्मक बनाने के लिए सभी पदों को दाईं ओर ले जाने पर:

       

      $$x^2 – 27x + 182 = 0$$

    5. गुणनखंडन:

      हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणा 182 हो और जोड़ -27 हो।

      (संख्याएँ 13 और 14 हैं)

       

      $$x^2 – 13x – 14x + 182 = 0$$
      $$x(x – 13) – 14(x – 13) = 0$$
      $$(x – 13)(x – 14) = 0$$

    6. मूल:

      $x = 13$ या $x = 14$

      उत्तर: वे दो संख्याएँ 13 और 14 हैं।

विस्तृत हल:

  1. माना: समकोण त्रिभुज का आधार $= x$ cm

  2. ऊँचाई: प्रश्न के अनुसार, आधार से 7 कम है।

    ऊँचाई $= (x – 7)$ cm

  3. दिया है: कर्ण $= 13$ cm

  4. पाइथागोरस प्रमेय से:

    $(\text{कर्ण})^2 = (\text{आधार})^2 + (\text{लंब})^2$

     

    $$(13)^2 = x^2 + (x – 7)^2$$
    $$169 = x^2 + (x^2 + 49 – 14x)$$
    $$169 = 2x^2 – 14x + 49$$

  5. द्विघात समीकरण:

     

    $$2x^2 – 14x + 49 – 169 = 0$$
    $$2x^2 – 14x – 120 = 0$$

     

    (पूरे समीकरण को 2 से भाग देने पर)

     

    $$x^2 – 7x – 60 = 0$$

  6. हल:

    $x^2 – 12x + 5x – 60 = 0$ (क्योंकि $12 \times 5 = 60$)

    $x(x – 12) + 5(x – 12) = 0$

    $(x – 12)(x + 5) = 0$

    $x = 12$ या $x = -5$

  7. निष्कर्ष: भुजा की लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः $x = 12$ cm।

    ऊँचाई $= 12 – 7 = 5$ cm

    उत्तर: आधार 12 cm और ऊँचाई 5 cm है।

📘 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (5 अंक) (Very Long Question Answer)

Q12. एक रेलगाड़ी एक समान चाल से 360 km की दूरी तय करती है। यदि यह चाल 5 km/h अधिक होती, तो वह उसी यात्रा में 1 घंटा कम समय लेती। रेलगाड़ी की चाल ज्ञात कीजिए।

विस्तृत हल:

चरण 1:

माना रेलगाड़ी की सामान्य चाल $= x$ km/h

कुल दूरी $= 360$ km

सामान्य समय ($t_1$) $= \frac{360}{x}$ घंटे

चरण 2:

नई चाल $= (x + 5)$ km/h

नया समय ($t_2$) $= \frac{360}{x + 5}$ घंटे

चरण 3 (समीकरण):

प्रश्नानुसार, नया समय पुराने समय से 1 घंटा कम है।

 

$$\frac{360}{x} – \frac{360}{x + 5} = 1$$

चरण 4 (गणना):

 

$$360 \left[ \frac{1}{x} – \frac{1}{x + 5} \right] = 1$$
$$360 \left[ \frac{x + 5 – x}{x(x + 5)} \right] = 1$$
$$360 \times 5 = x^2 + 5x$$
$$1800 = x^2 + 5x$$
$$x^2 + 5x – 1800 = 0$$

चरण 5 (द्विघात सूत्र):

$D = (5)^2 – 4(1)(-1800) = 25 + 7200 = 7225$

$\sqrt{D} = 85$

 

$$x = \frac{-5 \pm 85}{2}$$

 

$x = \frac{80}{2} = 40$ या $x = \frac{-90}{2} = -45$

चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः $x = 40$।

उत्तर: रेलगाड़ी की चाल 40 km/h है।

विस्तृत हल:

चरण 1:

माना छोटा नल हौज भरने में समय लेता है $= x$ घंटे।

तो, बड़ा नल समय लेगा $= (x – 10)$ घंटे।

चरण 2 (1 घंटे का कार्य):

छोटा नल 1 घंटे में भरेगा $= \frac{1}{x}$ भाग।

बड़ा नल 1 घंटे में भरेगा $= \frac{1}{x – 10}$ भाग।

चरण 3:

दोनों मिलकर कुल समय लेते हैं $= 9 \frac{3}{8} = \frac{75}{8}$ घंटे।

तो, दोनों 1 घंटे में भरेंगे $= \frac{8}{75}$ भाग।

चरण 4 (समीकरण):

 

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{x – 10} = \frac{8}{75}$$
$$\frac{x – 10 + x}{x(x – 10)} = \frac{8}{75}$$
$$\frac{2x – 10}{x^2 – 10x} = \frac{8}{75}$$
$$75(2x – 10) = 8(x^2 – 10x)$$
$$150x – 750 = 8x^2 – 80x$$
$$8x^2 – 230x + 750 = 0$$

चरण 5 (हल):

2 से भाग देने पर: $4x^2 – 115x + 375 = 0$

गुणनखंडन ($100 \times 15$):

$4x^2 – 100x – 15x + 375 = 0$

$4x(x – 25) – 15(x – 25) = 0$

$(x – 25)(4x – 15) = 0$

$x = 25$ या $x = 15/4 = 3.75$

चरण 6 (जाँच):

यदि $x = 3.75$ घंटे लेते हैं, तो बड़ा नल $(3.75 – 10)$ ऋणात्मक समय लेगा, जो असंभव है।

अतः $x = 25$ सही है।

छोटा नल $= 25$ घंटे, बड़ा नल $= 25 – 10 = 15$ घंटे।

उत्तर: 25 घंटे और 15 घंटे।

हल:

माना बड़े वर्ग की भुजा $x$ और छोटे की $y$ है।

  1. $x^2 + y^2 = 468$

  2. $4x – 4y = 24 \Rightarrow x – y = 6 \Rightarrow x = y + 6$

    $x$ का मान (1) में रखने पर:

    $(y + 6)^2 + y^2 = 468$

    $y^2 + 36 + 12y + y^2 = 468$

    $2y^2 + 12y – 432 = 0$

    $y^2 + 6y – 216 = 0$

    गुणनखंड: $(y + 18)(y – 12) = 0 \Rightarrow y = 12$ ($y=-18$ छोड़ दें)

    $x = 12 + 6 = 18$

    उत्तर: भुजाएँ 18 m और 12 m हैं।

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