class 10 Math - Very Important Question Anwers
Chapter 2 - बहुपद (Polynomials)
यह चैप्टर बीजगणित (Algebra) का आधार है और इसमें से शून्यकों (Zeros) और गुणांकों (Coefficients) के बीच संबंध वाले प्रश्न सबसे अधिक पूछे जाते हैं।
📘 अति लघु उत्तरीय प्रश्न (1 अंक)
Q1. एक द्विघात बहुपद के शून्यकों की अधिकतम संख्या क्या हो सकती है? - (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
उत्तर: (B) 2
Q2.यदि $\alpha$ और $\beta$ बहुपद $p(x) = x^2 - 5x + 6$ के शून्यक हैं, तो $\alpha + \beta$ का मान होगा: (A) 5 (B) -5 (C) 6 (D) -6
उत्तर: (A) 5
(सूत्र: योग $\alpha + \beta = -b/a = -(-5)/1 = 5$)
Q3. बहुपद $x^2 - 3$ के शून्यक हैं: (A) 3, -3 (B) $\sqrt{3}, -\sqrt{3}$ (C) 3, 3 (D) 9, -9
उत्तर: (B) $\sqrt{3}, -\sqrt{3}$
($x^2 – 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm\sqrt{3}$)
Q4. एक द्विघात बहुपद, जिसके शून्यक -3 और 4 हैं, होगा: (A) $x^2 - x + 12$ (B) $x^2 + x + 12$ (C) $x^2 - x - 12$ (D) $2x^2 + 2x - 24$
उत्तर: (C) $x^2 – x – 12$
(योग = 1, गुणनफल = -12. सूत्र: $x^2 – (योग)x + (गुणनफल)$)
Q5. यदि बहुपद $p(x) = x^2 - kx + 6$ के शून्यकों का योग 3 है, तो $k$ का मान है: (A) 3(B) -3 (C) 6 (D) 2
उत्तर: (D) $\sqrt{4}$ (क्योंकि $\sqrt{4} = 2$, जो परिमेय है)
Q6.यदि बहुपद $3x^2 + 11x - 4$ का एक शून्यक $m$ है, तो दूसरा शून्यक होगा:(मान लीजिए $\alpha = 1/3, \beta = -4$ हल करने पर आते हैं) (A) $-4$ (B) 4 (C) $1/3$ (D) $-1/3$
उत्तर: प्रश्न में जानकारी अधूरी लग रही है, लेकिन हल करने पर शून्यक $1/3$ और $-4$ आते हैं।
Q7.त्रिघात बहुपद (Cubic Polynomial) की घात (Degree) कितनी होती है? (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
उत्तर: (D) 3
📘 लघु उत्तरीय प्रश्न (2 अंक)
Q8.एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों का योग तथा गुणनफल क्रमशः -3 और 2 हैं।
उत्तर:
दिया है: योग ($\alpha+\beta$) = -3, गुणनफल ($\alpha\beta$) = 2 सूत्र: $p(x) = k[x^2 – (\alpha+\beta)x + \alpha\beta]$ $p(x) = x^2 – (-3)x + 2$ $p(x) = x^2 + 3x + 2$
Q9. बहुपद $4u^2 + 8u$ के शून्यक ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
$4u^2 + 8u = 0$ $4u(u + 2) = 0$ यदि $4u = 0 \Rightarrow u = 0$ यदि $u + 2 = 0 \Rightarrow u = -2$ शून्यक: 0 और -2
Q10. यदि बहुपद $2x^2 - 3x + k$ का एक शून्यक 1 है, तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
चूँकि 1 शून्यक है, अतः $x=1$ रखने पर बहुपद का मान 0 हो जाएगा। $p(1) = 2(1)^2 – 3(1) + k = 0$ $2 – 3 + k = 0$ $-1 + k = 0$ $k = 1$
Q11. क्या $x - 1$, बहुपद $p(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ का एक गुणनखंड है?
उत्तर:
यदि $x-1$ गुणनखंड है, तो $x=1$ रखने पर शेषफल 0 आना चाहिए।
$p(1) = (1)^3 – 6(1)^2 + 11(1) – 6$
$= 1 – 6 + 11 – 6$
$= 12 – 12 = 0$
हाँ, यह एक गुणनखंड है।
Q12.बहुपद $x^2 - 15$ के शून्यक ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
$x^2 – 15 = 0$ $x^2 = 15$ $x = \pm \sqrt{15}$ शून्यक: $+\sqrt{15}$ और $-\sqrt{15}$
📘 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (3 अंक) (Long Question Answer)
Q13. बहुपद $6x^2 - 3 - 7x$ के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए।
उत्तर:
मानक रूप में लिखने पर: $6x^2 – 7x – 3$
गुणनखंडन: $6x^2 – 9x + 2x – 3$
$= 3x(2x – 3) + 1(2x – 3)$
$= (2x – 3)(3x + 1)$
शून्यक: $3/2$ और $-1/3$
जाँच:
योग = $3/2 + (-1/3) = (9-2)/6 = 7/6$
सूत्र से = $-b/a = -(-7)/6 = 7/6$ (सत्यापित)
गुणनफल = $(3/2) \times (-1/3) = -3/6 = -1/2$
सूत्र से = $c/a = -3/6 = -1/2$ (सत्यापित)
Q14. यदि बहुपद $x^2 + (a+1)x + b$ के शून्यक 2 और -3 हैं, तो $a$ और $b$ के मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
शून्यक $\alpha=2, \beta=-3$
योग $\alpha+\beta = 2 + (-3) = -1$
समीकरण से योग $= -(a+1)$
$-1 = -(a+1) \Rightarrow 1 = a+1 \Rightarrow a = 0$
गुणनफल $\alpha\beta = 2 \times (-3) = -6$
समीकरण से गुणनफल $= b$
$b = -6$
उत्तर: $a = 0, b = -6$
Q15. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यक $\frac{2}{3}$ और $\frac{-1}{4}$ हैं।
उत्तर:
योग = $\frac{2}{3} – \frac{1}{4} = \frac{8-3}{12} = \frac{5}{12}$ गुणनफल = $\frac{2}{3} \times \frac{-1}{4} = \frac{-2}{12} = \frac{-1}{6}$ बहुपद $p(x) = k[x^2 – \frac{5}{12}x – \frac{1}{6}]$ $k=12$ लेने पर: $12x^2 – 5x – 2$
Q16. यदि $\alpha$ और $\beta$ द्विघात बहुपद $f(x) = x^2 - 5x + 4$ के शून्यक हैं, तो $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} - 2\alpha\beta$ का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
$\alpha+\beta = 5, \alpha\beta = 4$ व्यंजक: $\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta} – 2\alpha\beta$ मान रखने पर: $\frac{5}{4} – 2(4)$ $= \frac{5}{4} – 8 = \frac{5 – 32}{4} = \frac{-27}{4}$
📘 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (5 अंक) (Very Long Question Answer)
Q17. यदि बहुपद $3x^2 + 4x - 4$ के शून्यक $\alpha$ और $\beta$ हैं, तो एक ऐसा द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यक $\frac{\alpha}{\beta}$ और $\frac{\beta}{\alpha}$ हों।
उत्तर:
दिए गए बहुपद से: $\alpha+\beta = -4/3, \alpha\beta = -4/3$
नए शून्यकों का योग:
$S = \frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}$
$S = \frac{(\alpha+\beta)^2 – 2\alpha\beta}{\alpha\beta}$
$S = \frac{(-4/3)^2 – 2(-4/3)}{-4/3} = \frac{16/9 + 8/3}{-4/3} = \frac{(16+24)/9}{-4/3} = \frac{40/9}{-4/3} = -10/3$
नए शून्यकों का गुणनफल:
$P = \frac{\alpha}{\beta} \times \frac{\beta}{\alpha} = 1$
नया बहुपद:
$x^2 – Sx + P = x^2 – (-10/3)x + 1$
$= 3x^2 + 10x + 3$
Q18. यदि $\alpha$ और $\beta$ बहुपद $x^2 - 6x + a$ के शून्यक हैं तथा $3\alpha + 2\beta = 20$ है, तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
$\alpha+\beta = 6$ …(i)
$3\alpha + 2\beta = 20$ …(ii)
समीकरण (i) को 2 से गुणा करें: $2\alpha + 2\beta = 12$ …(iii)
(ii) में से (iii) घटाने पर: $\alpha = 8$
$\alpha$ का मान (i) में रखें: $8 + \beta = 6 \Rightarrow \beta = -2$
अब $a = \alpha\beta$
$a = 8 \times (-2) = -16$
उत्तर: $a = -16$
Q19. यदि बहुपद $x^2 + px + 45$ के शून्यकों के अंतर का वर्ग 144 है, तो $p$ का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
दिया है: $(\alpha – \beta)^2 = 144$
सूत्र: $(\alpha – \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 – 4\alpha\beta$ $144 = (-p)^2 – 4(45)$ $144 = p^2 – 180$ $p^2 = 144 + 180 = 324$ $p = \pm \sqrt{324} = \pm 18$