class 10 Math - Important Question & Answers

Chapter 1 - वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers)

Deep Introduction

कक्षा 10 गणित का पहला अध्याय वास्तविक संख्याएँ पूरे गणित का बेस मजबूत करने वाला अध्याय है। इसमें हम मुख्य रूप से संख्याओं के प्रकार, HCF (महत्तम समापवर्तक), LCM (लघुत्तम समापवर्त्य), अभाज्य गुणनखंड (Prime Factorization) और यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म (Euclid’s Division Algorithm) को समझते हैं। ये सभी कॉन्सेप्ट आगे के कई अध्यायों जैसे बहुपद (Polynomials), त्रिकोणमिति (Trigonometry) और सांख्यिकी (Statistics) में भी उपयोग होते हैं।

इस अध्याय की सबसे खास बात यह है कि यह हमें संख्याओं के बीच संबंध समझना सिखाता है।

📊 Board Exam Weightage:
इस अध्याय से लगभग 6–7 अंक के प्रश्न हर साल पूछे जाते हैं। इनमें 1 अंक, 2 अंक और 4 अंक के प्रश्न शामिल होते हैं।

📚 पूछे जाने वाले प्रश्नों के प्रकार:

HCF और LCM निकालना
Prime Factorization करना
Euclid Division Algorithm का उपयोग
Irrational और Rational संख्याओं से जुड़े प्रश्न
प्रूफ आधारित प्रश्न (जैसे: कोई संख्या अपरिमेय सिद्ध करना)

🔗 Future Chapters Connection:
यह अध्याय आगे आने वाले chapters जैसे Polynomial, Quadratic Equations और Trigonometry में बहुत मदद करता है, क्योंकि वहां भी factorization और number properties काम आती हैं।

🎯 Concept समझना क्यों जरूरी है?
अगर आपने इस अध्याय को अच्छे से समझ लिया, तो आगे के chapters आसान लगेंगे। केवल formulas याद करना काफी नहीं है, बल्कि उनके पीछे का logic समझना जरूरी है, तभी आप tricky questions भी solve कर पाएंगे।

⚡ Key Concepts / Quick Revision Points

👉 जल्दी रिवीजन के लिए ये पॉइंट्स याद रखो:

📌 वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers) में सभी Rational और Irrational numbers शामिल होते हैं।
📌 परिमेय संख्या (Rational Number): $$\frac{p}{q}, \; q \neq 0$$ के रूप में लिखी जा सकती है
📌 अपरिमेय संख्या (Irrational Number): $$\sqrt{2}$$ जैसे दशमलव non-repeating होते हैं
📌 अभाज्य संख्या (Prime Number): केवल 1 और खुद से विभाजित (जैसे 2, 3, 5)
📌 संयोज्य संख्या (Composite): दो से अधिक गुणनखंड (जैसे 4, 6, 8)
📌 Prime Factorization: किसी संख्या को prime numbers के गुणनफल में लिखन|
📌 HCF (महत्तम समापवर्तक): दो संख्याओं का सबसे बड़ा common factor
📌 LCM (लघुत्तम समापवर्त्य): सबसे छोटा common multiple
📌 सबसे महत्वपूर्ण relation:
$$HCF(a,b) \times LCM(a,b) = a \times b$$
📌 Euclid Division Algorithm:
$$a = bq + r,\; 0 \le r < b$$
📌 Co-prime Numbers: जिनका HCF = 1 होता है (जैसे 8 और 15)
📌 Decimal Expansion:
- Terminating: $$\frac{1}{2} = 0.5$$
- Non-terminating repeating: $$\frac{1}{3} = 0.333…$$
📌 अगर हर का prime factor केवल 2 या 5 है → decimal terminating होगा
📌 अन्य prime factor होने पर → non-terminating repeating
📌 Important Property:
परिमेय × अपरिमेय = अपरिमेय (जब परिमेय ≠ 0)
📌 Exam में ध्यान रखें:
- Steps साफ लिखें
- Prime factorization method properly दिखाएं
- Formula सही apply करें

Real-Life Application

Example:

HCF → packaging / grouping
LCM → time scheduling
Trigonometry → height measurement

📘 अति लघु उत्तरीय प्रश्न (1 अंक)

Q1. किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए, $HCF(a, b) \times LCM(a, b)$ बराबर होता है:(A) $a + b$(B) $a - b$(C) $a \times b$(D) $a / b$

उत्तर: (C) $a \times b$

Q2.संख्या 140 को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए:(A) $2^2 \times 5 \times 7$(B) $2^2 \times 3 \times 5$(C) $2 \times 5^2 \times 7$(D) $2^2 \times 5 \times 3$

उत्तर: (A) $2^2 \times 5 \times 7$

Q3. एक अशून्य परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का गुणनफल होता है:(A) सदैव परिमेय(B) सदैव अपरिमेय(C) परिमेय या अपरिमेय(D) एक

उत्तर: (B) सदैव अपरिमेय (जैसे $2 \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ )

Q4. यदि दो संख्याओं का HCF = 27 और LCM = 162 है। यदि एक संख्या 54 है, तो दूसरी संख्या क्या होगी?(A) 36 (B) 81 (C) 9 (D) 45

उत्तर: (B) 81

(संकेत: दूसरी संख्या = $\frac{27 \times 162}{54}$)

Q5. निम्न में से कौन सी संख्या अपरिमेय नहीं है? (A) $2\sqrt{3}$ (B) $\sqrt{21}$ (C) $3 + \sqrt{2}$ (D) $\sqrt{4}$

उत्तर: (D) $\sqrt{4}$ (क्योंकि $\sqrt{4} = 2$ , जो परिमेय है)

Q6. सबसे छोटी भाज्य संख्या और सबसे छोटी अभाज्य संख्या का HCF क्या है? (A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 8

उत्तर: (B) 2 (सबसे छोटी भाज्य = 4, सबसे छोटी अभाज्य = 2)

Q7. $n$ के किस मान के लिए $4^n$ अंक शून्य (0) पर समाप्त होगा? (A) किसी भी प्राकृत संख्या के लिए (B) सम संख्याओं के लिए (C) विषम संख्याओं के लिए (D) किसी भी मान के लिए नही

उत्तर: (D) किसी भी मान के लिए नहीं

(कारण: $4^n = (2^2)^n$ में अभाज्य गुणनखंड 5 मौजूद नहीं है)

📘 लघु उत्तरीय प्रश्न (2 अंक)

Q8.अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा 96 और 404 का HCF ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $96 = 2^5 \times 3$ $404 = 2^2 \times 101$ उभयनिष्ठ गुणनखंड की सबसे छोटी घात $2^2$ है। अतः, HCF = 4

Q9. व्याख्या कीजिए कि $7 \times 11 \times 13 + 13$ एक भाज्य संख्या क्यों है?

उत्तर: दी गई संख्या $= 13 \times (7 \times 11 \times 1 + 1) = 13 \times (77 + 1) = 13 \times 78$ चूँकि इस संख्या के 1 और स्वयं के अतिरिक्त अन्य गुणनखंड (जैसे 13) भी हैं, इसलिए यह एक भाज्य संख्या (Composite Number) है।

Q10. सिद्ध कीजिए कि $3\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है (दिया है कि $\sqrt{2}$ अपरिमेय है)।

उत्तर:

माना $3\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है। $3\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ (जहाँ $a, b$ पूर्णांक हैं, $b \neq 0$ ) $\sqrt{2} = \frac{a}{3b}$ यहाँ RHS ( $\frac{a}{3b}$ ) एक परिमेय संख्या है, लेकिन हम जानते हैं कि $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है। यह विरोधाभास है। अतः $3\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।

Q11. 6, 72 और 120 का अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा HCF और LCM ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

$6 = 2 \times 3$ $72 = 2^3 \times 3^2$ $120 = 2^3 \times 3 \times 5$ HCF = $2 \times 3 = 6$ LCM = $2^3 \times 3^2 \times 5 = 8 \times 9 \times 5 = 360$

Q12.दो संख्याओं का HCF 23 है और उनका LCM 1449 है। यदि एक संख्या 161 है, तो दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

$\text{पहली संख्या} \times \text{दूसरी संख्या} = HCF \times LCM$

$161 \times \text{दूसरी संख्या} = 23 \times 1449$

$\text{दूसरी संख्या} = \frac{23 \times 1449}{161} = \frac{33327}{161} = 207$

उत्तर: 207

📘 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (3 अंक) (Long Question Answer)

Q13. सिद्ध कीजिए कि $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।

उत्तर:

माना $\sqrt{3} = \frac{a}{b}$ एक परिमेय संख्या है (जहाँ $a, b$ सह-अभाज्य हैं)।
वर्ग करने पर: $3 = \frac{a^2}{b^2} \Rightarrow 3b^2 = a^2$।
इसका अर्थ है 3, $a^2$ को विभाजित करता है, अतः 3, $a$ को भी विभाजित करेगा।
माना $a = 3c$। मान रखने पर: $3b^2 = (3c)^2 \Rightarrow 3b^2 = 9c^2 \Rightarrow b^2 = 3c^2$।
इसका अर्थ है 3, $b^2$ को विभाजित करता है, अतः 3, $b$ को भी विभाजित करेगा।
अतः $a$ और $b$ में उभयनिष्ठ गुणनखंड 3 है, जो हमारी सह-अभाज्य की मान्यता का विरोधाभास है।
अतः $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।

Q14. सिद्ध कीजिए कि $5 - \sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है

उत्तर:

माना $5 - \sqrt{3} = \frac{a}{b}$ (परिमेय है)। $\Rightarrow 5 - \frac{a}{b} = \sqrt{3}$ $\Rightarrow \frac{5b - a}{b} = \sqrt{3}$ चूँकि $a, b$ पूर्णांक हैं, इसलिए बायां पक्ष (LHS) परिमेय है। लेकिन दायां पक्ष (RHS) $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है। परिमेय $\neq$ अपरिमेय। यह विरोधाभास है। अतः $5 - \sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।

Q15. प्रातःकालीन सैर के समय, तीन व्यक्ति एक साथ कदम बढ़ाना शुरू करते हैं। उनके कदमों की लंबाई क्रमशः 40 cm, 42 cm और 45 cm है। वे पुनः कितनी दूरी पर एक साथ कदम रखेंगे?

उत्तर:

हमें 40, 42 और 45 का LCM निकालना होगा। $40 = 2^3 \times 5$ $42 = 2 \times 3 \times 7$ $45 = 3^2 \times 5$ LCM = $2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7$ LCM = $8 \times 9 \times 35 = 2520$ cm उत्तर: वे 2520 cm (या 25.2 मीटर) पर पुनः मिलेंगे।

Q16. वह बड़ी से बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 2053 और 967 को विभाजित करने पर शेषफल क्रमशः 5 और 7 प्राप्त हो।

उत्तर:

संख्याएं होंगी:

$2053 – 5 = 2048$

$967 – 7 = 960$

हमें HCF(2048, 960) ज्ञात करना है।

$960 = 2^6 \times 3 \times 5$

$2048 = 2^{11}$

HCF = $2^6 = 64$

उत्तर: वह संख्या 64 है।

📘 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (5 अंक) (Very Long Question Answer)

Q17. एक मिठाई विक्रेता के पास 420 काजू की बर्फियाँ और 130 बादाम की बर्फियाँ हैं। वह इनकी ऐसी ढेरियाँ बनाना चाहता है कि प्रत्येक ढेरी में बर्फियों की संख्या समान रहे और ये ढेरियाँ परात में न्यूनतम स्थान घेरें। इस काम के लिए प्रत्येक ढेरी में कितनी बर्फियाँ रखी जा सकती हैं?

उत्तर:

“न्यूनतम स्थान” घेरने का मतलब है कि ढेरियों की संख्या कम होनी चाहिए, यानी एक ढेरी में बर्फियों की संख्या अधिकतम होनी चाहिए। इसलिए, हमें HCF(420, 130) निकालना है। $420 = 2^2 \times 3 \times 5 \times 7$ $130 = 2 \times 5 \times 13$ HCF = $2 \times 5 = 10$

उत्तर: प्रत्येक ढेरी में 10 बर्फियाँ रखी जा सकती हैं।

Q18. किसी खेल के मैदान के चारों ओर एक वृत्ताकार पथ है। इस मैदान का एक चक्कर लगाने में सोनिया को 18 मिनट लगते हैं, जबकि इसी मैदान का एक चक्कर लगाने में रवि को 12 मिनट लगते हैं।Q18. मान लीजिए वे दोनों एक ही स्थान और एक ही समय पर चलना प्रारम्भ करके एक ही दिशा में चलते हैं। कितने समय बाद वे पुनः प्रारम्भिक स्थान पर मिलेंगे?

उत्तर: पुनः मिलने का समय 18 और 12 का LCM होगा। $18 = 2 \times 3^2$ $12 = 2^2 \times 3$ LCM = $2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$

उत्तर: वे 36 मिनट बाद पुनः प्रारंभिक स्थान पर मिलेंगे।

Q19. एक कमरे की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई क्रमशः 8 मीटर 25 सेमी, 6 मीटर 75 सेमी और 4 मीटर 50 सेमी है। वह सबसे लंबी छड़ (Rod) ज्ञात कीजिए जो कमरे की तीनों विमाओं को पूरा-पूरा माप सके।

उत्तर:

पहले सबको सेमी में बदलें: $L = 825$ cm, $B = 675$ cm, $H = 450$ cm “सबसे लंबी छड़” का मतलब है HCF निकालना। $825 = 3 \times 5^2 \times 11$ $675 = 3^3 \times 5^2$ $450 = 2 \times 3^2 \times 5^2$ HCF = $3^1 \times 5^2 = 3 \times 25 = 75$

उत्तर: छड़ की लंबाई 75 cm होगी।

कक्षा 10 गणित – सभी अध्यायों के महत्वपूर्ण प्रश्न

👉 नीचे दिए गए सभी अध्यायों के महत्वपूर्ण प्रश्न और उत्तर बोर्ड परीक्षा के लिए तैयार किए गए हैं। हर chapter में आपको exam-oriented questions, formulas और solved examples मिलेंगे।