class 10 - Math Notes

Chapter 14: प्रायिकता (Probability)

1. परिचय (Introduction)

प्रायिकता का अर्थ है किसी घटना के घटित होने की संभावना (Chance)।

  • हम अपने दैनिक जीवन में अक्सर कहते हैं: “आज बारिश होने की संभावना है” या “भारत के मैच जीतने के चांस 50-50 हैं”।

  • गणित में हम इस संभावना को एक संख्या (0 से 1 के बीच) के रूप में मापते हैं।

प्रायिकता गणित की वह शाखा है जो किसी घटना (event) के होने की संभावना को मापती है। सरल शब्दों में, जब हम यह जानना चाहते हैं कि कोई कार्य होने की कितनी संभावना है, तब हम प्रायिकता का उपयोग करते हैं। जैसे — सिक्का उछालने पर हेड आने की संभावना क्या है? पासा फेंकने पर 6 आने की संभावना कितनी है?

प्रायिकता का मूल विचार अनिश्चितता (uncertainty) को संख्यात्मक रूप में व्यक्त करना है। इसका मान 0 और 1 के बीच होता है। यदि किसी घटना की प्रायिकता 0 है तो वह असंभव घटना है, और यदि 1 है तो वह निश्चित घटना है।

वास्तविक जीवन में प्रायिकता का उपयोग मौसम पूर्वानुमान, खेलों के परिणाम, बीमा कंपनियों के जोखिम विश्लेषण, चिकित्सा परीक्षण, शेयर बाजार और डेटा विश्लेषण में होता है।

बोर्ड परीक्षा में यह अध्याय अत्यंत महत्वपूर्ण है और सामान्यतः 4–6 अंक के प्रश्न पूछे जाते हैं। प्रश्नों के प्रकार निम्न हो सकते हैं:

  • सिक्का, पासा और ताश से संबंधित प्रश्न

  • साधारण प्रायिकता के प्रश्न

  • पूरक घटना (complementary event)

  • शब्द-प्रश्न (word problems)

आगे की कक्षाओं में संयोजन (Permutation & Combination) और सांख्यिकी से इसका गहरा संबंध बनता है। यदि मूल अवधारणा स्पष्ट हो, तो भविष्य के जटिल प्रश्न आसानी से हल किए जा सकते हैं।

प्रायिकता को केवल सूत्रों से नहीं बल्कि तर्क और समझ से सीखना आवश्यक है।

2. मुख्य सूत्र (The Golden Formula)

इस पूरे चैप्टर में केवल एक ही सूत्र है:

$$P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या (Favorable Outcomes)}}{\text{कुल संभव परिणामों की संख्या (Total Possible Outcomes)}}$$
3. प्रायिकता के गुण (Properties of Probability)

ये बातें 1 नंबर के MCQ में पूछी जाती हैं:

  1. सीमा (Range): किसी घटना की प्रायिकता हमेशा 0 और 1 के बीच होती है।

    $$0 \le P(E) \le 1$$

    (प्रायिकता कभी भी ऋणात्मक (-) नहीं हो सकती और 1 से बड़ी नहीं हो सकती)।

  2. निश्चित घटना (Sure Event): वह घटना जो घटित होनी ही है (जैसे: सूर्य का पूर्व से निकलना)। इसकी प्रायिकता 1 होती है।

  3. असंभव घटना (Impossible Event): वह घटना जो हो ही नहीं सकती (जैसे: लूडो के पासे पर 7 आना)। इसकी प्रायिकता 0 होती है।

  4. पूरक घटना (Complementary Event): किसी घटना के ‘न होने’ की प्रायिकता।

    $$P(E) + P(\text{E नहीं}) = 1$$
    $$\text{या } P(\bar{E}) = 1 – P(E)$$
4. महत्वपूर्ण स्थितियाँ (Important Scenarios)

प्रश्न आमतौर पर इन तीन चीजों पर आते हैं:

(A) सिक्के (Coins)

  • 1 सिक्का: कुल परिणाम = 2 {H, T}

  • 2 सिक्के: कुल परिणाम = 4 {HH, HT, TH, TT}

  • 3 सिक्के: कुल परिणाम = 8 {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}

    • ट्रिक: कुल परिणाम = $2^n$ (जहाँ $n$ सिक्कों की संख्या है)।

(B) पासा (Dice)

  • 1 पासा: कुल परिणाम = 6 {1, 2, 3, 4, 5, 6}

    • सम संख्या (Even): {2, 4, 6}

    • अभाज्य संख्या (Prime): {2, 3, 5} (नोट: 1 अभाज्य नहीं है)

  • 2 पासे: कुल परिणाम = 36

    • (1,1), (1,2)… से लेकर (6,6) तक।

    • प्रश्न अक्सर “योग” (Sum) पर आता है (जैसे दोनों पासों का योग 8 हो).

(C) ताश के पत्ते (Playing Cards)

कुल पत्ते = 52

यह चार्ट याद कर लें, प्रश्न यहीं से आता है:

  • रंग (Colors):

    • लाल (Red): 26 (पान/Heart + ईंट/Diamond)

    • काला (Black): 26 (हुकुम/Spade + चिड़ी/Club)

  • सूट (Suits – 4 प्रकार): हुकुम (♠), चिड़ी (♣), पान (♥), ईंट (♦)। हर तरह के 13 पत्ते होते हैं।

  • तस्वीर वाले पत्ते (Face Cards):

    • गुलाम (Jack), बेगम (Queen), बादशाह (King)।

    • हर सूट में 3 होते हैं, तो कुल $3 \times 4 = 12$ फेस कार्ड्स होते हैं।

    • (इक्का/Ace फेस कार्ड नहीं होता)।

5. हल किया हुआ महत्वपूर्ण उदाहरण (Solved Example)

प्रश्न: 52 पत्तों की एक अच्छी तरह से फेंटी गई गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाला गया पत्ता:

(i) लाल रंग का बादशाह है।

(ii) एक फेस कार्ड (तस्वीर वाला पत्ता) है।

हल:

कुल परिणाम = 52

(i) लाल रंग का बादशाह:

  • लाल बादशाह 2 होते हैं (एक पान का, एक ईंट का)।

  • अनुकूल परिणाम = 2

  • $P(\text{Red King}) = \frac{2}{52} = \frac{1}{26}$

(ii) एक फेस कार्ड:

  • कुल फेस कार्ड = 12 (4 गुलाम + 4 बेगम + 4 बादशाह)

  • अनुकूल परिणाम = 12

  • $P(\text{Face Card}) = \frac{12}{52} = \frac{3}{13}$

🧮 3 Step-by-Step Solved Examples
✏️ Example 1

प्रश्न: एक सिक्का (coin) उछाला जाता है। हेड (Head) आने की प्रायिकता ज्ञात करें।

Step 1: कुल संभावित परिणाम (Total Outcomes)
सिक्का उछालने पर दो परिणाम संभव हैं: Head, Tail
अतः

$$
n(S) = 2
$$

Step 2: अनुकूल परिणाम (Favourable Outcome)
Head केवल 1 बार आता है।

$$
n(E) = 1
$$

Formula Apply करें:

$$
P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}
$$

Calculation:

$$
P(Head) = \frac{1}{2}
$$

Final Answer:
👉

$$
P(Head) = \frac{1}{2}
$$

✏️ Example 2

प्रश्न: एक पासा (dice) फेंका जाता है। 4 से बड़ी संख्या आने की प्रायिकता ज्ञात करें।

Step 1: कुल संभावित परिणाम
पासे पर 1 से 6 तक संख्या होती है।

$$
n(S) = 6
$$

Step 2: अनुकूल परिणाम
4 से बड़ी संख्याएँ हैं: 5 और 6

$$
n(E) = 2
$$

Formula:

$$
P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}
$$

Calculation:

$$
P = \frac{2}{6}
$$

सरल करें:

$$
P = \frac{1}{3}
$$

Final Answer:
👉

$$
P = \frac{1}{3}
$$
✏️ Example 3

प्रश्न: एक थैले में 5 लाल और 3 नीली गेंदें हैं। एक गेंद यादृच्छिक रूप से निकाली जाती है। नीली गेंद आने की प्रायिकता ज्ञात करें।

Step 1: कुल गेंदें

$$
Total = 5 + 3 = 8
$$

अतः

$$
n(S) = 8
$$

Step 2: अनुकूल परिणाम
नीली गेंदें = 3

$$
n(E) = 3
$$

Formula:

$$
P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}
$$

Calculation:

$$
P(Blue) = \frac{3}{8}
$$

Final Answer:
👉

$$
P(Blue) = \frac{3}{8}
$$
🌍 Real-Life / Application Example 

एक स्कूल में 40 विद्यार्थी हैं, जिनमें से 25 विद्यार्थी गणित पसंद करते हैं और 15 विद्यार्थी विज्ञान पसंद करते हैं। यदि एक विद्यार्थी को यादृच्छिक रूप से चुना जाए, तो उसके गणित पसंद करने की प्रायिकता ज्ञात करें।

Step 1: कुल विद्यार्थी

$$
n(S) = 40
$$

Step 2: अनुकूल परिणाम (Math पसंद करने वाले)

$$
n(E) = 25
$$

Formula:

$$
P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}
$$

Calculation:

$$
P(Math) = \frac{25}{40}
$$

सरल करें:

$$
P = \frac{5}{8}
$$

Final Answer:
👉

$$
P = \frac{5}{8}
$$

Explanation:
इसका अर्थ है कि चुने गए विद्यार्थी के गणित पसंद करने की संभावना 5/8 है। प्रायिकता का उपयोग सर्वेक्षण, चुनाव, खेल और जोखिम विश्लेषण में किया जाता है।

📝 Practice Questions Section

1️⃣ एक सिक्का उछाला जाता है। हेड आने की प्रायिकता ज्ञात करें।

2️⃣ एक पासा फेंका जाता है। 4 से बड़ी संख्या आने की प्रायिकता ज्ञात करें।

3️⃣ एक थैले में 5 लाल और 3 नीली गेंदें हैं। एक गेंद यादृच्छिक रूप से निकाली जाती है। लाल गेंद की प्रायिकता ज्ञात करें।

4️⃣ यदि

$$
Total\ outcomes = 20
$$

और

$$
Favourable\ outcomes = 5
$$

तो प्रायिकता ज्ञात करें।

5️⃣ एक ताश के पत्तों की गड्डी से एक पत्ता निकाला जाता है। इक्का (Ace) आने की प्रायिकता ज्ञात करें।

✅ Short Answers

1️⃣

$$
P(E) = \frac{1}{2}
$$

2️⃣

$$
P(E) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
$$

3️⃣

$$
P(E) = \frac{5}{8}
$$

4️⃣

$$
P(E) = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}
$$

5️⃣

$$
P(E) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}
$$
❓ FAQ Section

Q1: प्रायिकता क्या होती है?
प्रायिकता किसी घटना के घटित होने की संभावना को दर्शाती है। इसका मान 0 और 1 के बीच होता है।

Q2: प्रायिकता का मूल सूत्र क्या है?

$$
P(E) = \frac{Favourable\ outcomes}{Total\ outcomes}
$$

यह तब प्रयोग होता है जब सभी परिणाम समान संभावित हों।

Q3: असंभव घटना की प्रायिकता क्या होती है?
असंभव घटना की प्रायिकता 0 होती है।

Q4: निश्चित घटना की प्रायिकता क्या होती है?
निश्चित घटना की प्रायिकता 1 होती है।

🎯 Exam Tips / Strategy 

✅ प्रश्न पढ़कर पहले कुल संभावित परिणाम (Total outcomes) गिनें।

✅ फिर अनुकूल परिणाम (Favourable outcomes) सही पहचानें।

❌ सामान्य गलती: कुल परिणाम गलत गिन लेना, विशेषकर ताश या पासे के प्रश्नों में।

✅ सूत्र हमेशा पहले लिखें:

$$
P(E) = \frac{Favourable\ outcomes}{Total\ outcomes}
$$

✅ भिन्न को सरल (simplify) अवश्य करें।

⏳ समय प्रबंधन: पहले सरल प्रश्न हल करें जैसे सिक्का, पासा। जटिल प्रश्न बाद में करें।

📌 Step marking के लिए कुल परिणाम और अनुकूल परिणाम अलग-अलग लिखें।

📌 अंतिम उत्तर को साफ-सुथरे रूप में भिन्न या दशमलव में लिखें।

यदि गणना सही और प्रस्तुति स्पष्ट है, तो यह अध्याय बहुत आसान और पूर्ण अंक दिलाने वाला है।

Previous Chapter

• Chapter 14 – महत्वपूर्ण प्रश्न एवं उत्तर: इस अध्याय से बोर्ड परीक्षा में पूछे जाने वाले अहम प्रश्नों का संग्रह और उनके सरल समाधान।

• कक्षा 10 गणित – नोट्स एवं महत्वपूर्ण प्रश्न: पूरे सिलेबस के लिए संक्षिप्त नोट्स और परीक्षा की दृष्टि से महत्वपूर्ण प्रश्न एक ही जगह।

• Board Exam Preparation Help (Tips): बोर्ड परीक्षा में बेहतर अंक लाने के लिए समय प्रबंधन, अभ्यास और तैयारी से जुड़े जरूरी सुझाव।

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